Wie lang ist die kürzere Teilstrecke?

Question

Ein rechtwinkliges Dreieck hat den Einheitskreis als Inkreis und eine Kathete ist doppelt so lang, wie die andere. Der Inkreis berührt die Hypotenuse in einem Punkt B, der die Hypotenuse in zwei Teilstrecken zerlegt. Wie lang ist die kürzere Teilstrecke?

Comments

Die Geometrie scheint es dir sehr angetan zu haben.

Gibt es dafür einen besonderen Grund?

---

Ja, in der Geometrie ist bei mir am wenigsten verloren gegangen (siehe Profil).

---

Hallo Roland. Hattet Ihr sowas in der Geometrie in der Schule gemacht? Also hier in Hamburg lernen die Schüler gerade mal lernen den Inkreis zu konstruieren. Berechnungen finden hier nicht statt.

Ich tu mich generell selber schwer mit der Geometrie.  Solange das über elementare Dinge hinaus geht.

---

Mich hat an der Geometrie immer nur das Praktische interessiert.

Die analytische Geometrie mochte ich gar nicht.

Sie war mir viel zu trocken und irgendwie langweilig.

Ich erinnere mich noch an die 8. Klasse.

Das war die unangenehmste Klasse im Geo-Stoff.

Kongruenzsätze, Beweise etc. einfach nicht mein Ding.

Ich kann mich dafür überhaupt nicht erwärmen,

auch wenn es seinen Sinn haben mag.

Als Konzentrationsspielchen bevorzuge ich andere Dinge.

Ich weiß noch, dass viele sagten: Hoffentlich ist das Thema bald vorbei.

Von ca 50 Abiturienten haben 7 LK-Mathe und 3 im Grundkurs

Abi gemacht, zwei davon weil sie mussten.

Answer 1

Es seien die Katheten a und b mit b=2a.

Die Hypotenuse c hat dann die Länge \( \sqrt{5}a \).

Das Dreieck hat die Fläche A=0,5*a*b = a².

Verbindet man den Umkreismittelpunkt mit den Eckpunkten des Dreiecks, entstehen drei Teildreiecke. Sie haben die Inhalte 0,5*a*r bzw. 0,5*b*r bzw.  0,5*c*r mit r=1.

Damit gilt für die Fläche des Gesamtdreiecks auch

A=0,5*(a+2a+\( \sqrt{5}a \))*1.

Gleichsetzen mit A=a² liefert und Division durch a liefert

0,5*(1+2+\( \sqrt{5} \))=a

Der Berührpunkt des Inkreises teilt die Hypotenuse c im die Abschnitte b-r und a-r, hier also b-1 und a-1. Da a die kürzere Kathete war, ist a-1 die kürzere Teilstrecke.

Comments

Hat wohl zu viel Mühe gemacht, (1+√5)/2 aufzuschreiben?

---

Definitiv.                                 .

---

eine Alternative:

Der gelbe Einheitskreis \(k=(I,\,r=1)\) ist Inkreis im rechtwinkligen Dreieck \(\triangle PQR\). Die drei Dreiecke \(\triangle PQR\), \(\triangle PQ'R'\) und \(\triangle IQ'B\) sind ähnlich und haben ein Kathetenverhältnis von$$\frac{|QR|}{|RP|} = \frac{|Q'R'|}{|R'P|} = \frac{|BQ'|}{r} = 2$$Die gesuchte (rote) Strecke \(|PB|=|R'P|=x\) ist$$\begin{aligned} \frac{|Q'R'|}{|R'P|=x} &=2\\ \implies x &= \frac{|Q'R'|}{2} = \frac{|Q'I|+r}{2} \\ &= \frac{\sqrt{r^2 + |BQ'|^2}+r}{2} \\ &= \frac{\sqrt{1^2 + 2^2}+1}{2} \\ &= \frac{\sqrt{5}+1}{2} \\&= \Phi \end{aligned}$$Gruß Werner

---

@Werner: Deine Lösung ist genau genommen die beste.

---

Danke :-) ich wollte erst gar nicht antworten, weil ich die Frage zu leicht fand. Bis ich dann die anderen drei Antworten gesehen habe ...

Answer 2

Wenn ich das in ein KOS lege mit dem Einheitskreis in Ursprungslage und

den Katheten aus y=-1 und x=-1 und die kürzere Kathete hat die

Länge a, bekomme ich für die Endpunkte der Hypotenuse

(a-1;-1) und (-1;2a-1) .Die Hypotenuse liegt also auf der

Geraden y=-2x +2a-3.

Diese berührt den Einheitskreis so, dass er der

Inkreis ist, nur für a= \(  \frac{3+\sqrt{5}}{2}  \).

Und der Berührpunkt ist \(  (\frac{2\sqrt{5}}{5} , \frac{\sqrt{5}}{5} ) \).

Damit kann man ja die Längen der Stücke ausrechnen.

Comments

Bedeutet 'Einheitskreis in Ursprungslage' dass der Kreismittelpunkt (0|0) ist?

---

Ja, das war gemeint.

---

mathef meint genau das:

es gibt viele Wege die Aufgabe zu lösen ;-)

---

@Werner: Dass du irrationale Zahlen rational rundest, gefällt mir in diesem Zusammenhang gar nicht.

---

@Werner: Dass du irrationale Zahlen rational rundest, gefällt mir in diesem Zusammenhang gar nicht.

gefällt mir auch nicht. Mit dem Tool Desmos kann ich es aber nicht anders darstellen. Ich wüßte jedenfalls nicht wie das geht :-(

ansonsten kann ich Desmos aber wärmstens empfehlen! wenn Du links unten im Bild auf das Desmos-Emblem klickst, kannst Du links im Script die irrationalen Zahlen sehen.

---

@Roland: Yuchee! ich hab's heraus gefunden, wie man LaTeX in das Diagramm von Desmos schreiben kann (s.o.)