Vektorrechnung mit Punkten mit Zeit. Parametergleichung einer Geraden: b = 0A + t (A,B)

Question

Aufgabe:

Ein Laser startet im Punkt \( A=(3 \mid 1) \), bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit und hat nach genau einer Sekunde den Punkt \( B=(8 \mid 4) \) erreicht. Mit unseren Kenntnissen aus der Vektorrechnung kónnen wir dies mit Vektoren beschreiben: \( \overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+1 \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} \)

(1) In welchen Punkten befindet sich der Laser nach

\( t=\frac{1}{2} \) Sekunde,
\( t=\frac{3}{4} \) Sekunde,
\( t=0,9 \) Sekunden?

(2) In welchen Punkten wird der Laser nach \( \mathrm{t}=2 \) Sekunden, \( t=3,5 \) Sekunden sein?

(3) Wo ist die Position, die man mit der Zahl \( t=-5 \) Sekunden berechnet?

(4) Wird der Laser die Punkte \( R=(27 \mid 14) \) und \( S=(75 \mid 37) \) erreichen?

Wo liegen alle Punkte, die durch die Gleichung \( \overrightarrow{\mathrm{x}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\mathrm{t} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} \) mit \( -5 \leq t \leq 15 \) bestimmt werden?

Answer 1

Erstelle zuerst die vorgegebene Vektorgleichung (Vektoren hier fett: Pfeile ergänzen resp. vertikal abschreiben.

b = 0A + t (A,B)

b = (3,1) + t (5,3)

Jetzt setzt du die verschiedenen t-Werte ein.

b = (3,1) + 1/2 (5,3)  = (3,1) + (2.5,1.5) = (5.5, 2.5)       P(5.5, 2.5)

b = (3,1) + 3/4 (5,3) = (3,1) +  (3.75,2.25)  = (6.75, 3.25)  Q(6.75, 3.25)

b = (3,1) + 0.9 (5,3) = (3,1) +  (4.5,2.7) = ( 7.5, 3.7)   R(7.5, 3.7)

b = (3,1) + 2 (5,3) = usw.

Rechne das mal sorgfältig nach. Dann schaffst du den Rest bestimmt. Kontrolliere deine Resultate im Koordinatensystem.