Vollständige Induktion n > 3

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie durch vollständige Induktion:

Für n ∈ ℕ mit n ≥ 3 gilt:

5³ +5⁴+...+5ⁿ = 1/4 * (5ⁿ⁺¹ −125)

Hat vielleicht jemand eine Idee für die Lösung?

Comments

Naja, der Tipp steht doch schon da: vollständige Induktion.

Stell mal die Induktionsvoraussetzung auf und den (verallgemeinerten) Induktionsschritt.

Alternativ könntest Du das auch über die Berechnung einer geometrischen Reihe zeigen, aber das ist hier nicht gefordert.

---

Dankeschön schon mal für die schnelle Antwort!

Mich überfordert allgemein der Teil, dass für n≥3 gilt

Habe bis jetzt nur Aufgaben mit n=1 gehabt

Answer 1

n=3 bekommst du sicher hin.

Wenn es für ein n gilt, dann hat man:

\(  5^3 +5^4+\dots+5^n+5^{n+1}\)

\( = ( 5^3 +5^4+\dots+5^n) +5^{n+1}\) Für die Klammer die Ind.ann. einsetzen

\( = \frac{1}{4}(5^{n+1} -125)  +5^{n+1}\)  

\( = \frac{1}{4}\cdot 5^{n+1} -125\cdot\frac{1}{4}  +5^{n+1}\) 

\( = \frac{5}{4}\cdot 5^{n+1} -125\cdot\frac{1}{4} \)

\( = \frac{1}{4}\cdot 5^{n+2} -125\cdot\frac{1}{4} \)

\( = \frac{1}{4}(5^{n+2} -125) \)   q.e.d.