Welches Polynom kleinster Ordnung hat die gleiche Wertefolge?

Question

f(n)=2ⁿ hat für n∈ℕ die fünf Werte 1, 2, 4, 8, 16 als Teilfolge der Wertefolge. Welches Polynom kleinster Ordnung hat die gleiche Wertefolge als Teilfolge?

Comments

Wenn man die Folge der Differenzen von zwei auf einander folgenden Gliedern betrachtet, kommt man wieder auf die identische Folge. D.h. man muss die vierte Differenzenfolge bilden, bis man zu einer Folge mit konstanten Werten kommt - in diesem Fall ist das genau ein Folgenglied.

Daraus folgt, dass das Polynom mindstens die Ordnung 4 haben muss.

Beispiel: wenn das letzte Element eine 15 statt der 16 wäre, dann wäre die dritte Differenzenfolge konstant. Dann kann bereits ein kubisches Polynom durch alle 5 Punkte verlaufen:

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folgender Lösungsvorschlag ist nicht ganz ernst gemeint ;-)$$f(x)=\left\lfloor\frac{1}{4}x^3-\frac{31}{28}x^2+\frac{37}{14}x-\frac{2}{5}\right\rfloor$$also es reicht auch dritter Ordnung.

Answer 1

Man braucht den Ansatz für eine Polynomfunktion 4.Grades, also

y = a x⁴ + b x³ + c x² + d x + e

mit den 5 Unbekannten a,b,c,d,e .

Für jeden der vorgegebenen Punkte, z.B.  (0,1), (1,2), (2,4), (3,8), (4,16) erhält man eine lineare Gleichung für die Unbekannten. Dann ist das entstandene lineare Gleichungssystem aufzulösen. Ergebnis (zum Beispiel mit einem Computer-Algebra-Programm) f(x)=1/24·(x⁴-6x³+23x²-18x+24).

Answer 2

Lösung mit GeoGebra:

Comments

                                   
- 18·x² - 27·x·y + y² - 30·x + 162·y = 88 ist nicht die Gleichung eines Polynoms.

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Das ist ein durch 5 Punkte in der Ebene festgelegter Kegelschnitt (Hyperbel). Das war aber wohl nicht gemeint.