ungleichung q^n kleiner Epsilon

Question

Aufgabe:

q∈(0,1)

q^n < ε  für alle ε>0

Problem/Ansatz:

Hat jemand eine Idee wie ich diese Ungleichung beweisen kann? In dem ich wie folgt Abschätze:

q^n <......  <

Oder muss ich zeigen, da q^n eine monotonfallende nach unten Beschränkte Folge ist?

Answer 1

q^n geht gegen 0 für n-> oo

Comments

Ja das ist mir ja bewusst. Aber gibt es eine Abschätzung dafür ?

Oder ist der Einzige Weg zuzeigen,dass qn eine monotonfallende nach unten Beschränkte Folge ist?

Answer 2

Die Ungleichung gilt doch nicht generell, sondern nur ab einem jeweils vom gewählten Epsilon abhängigen N!

Dieses N ist größer als \( \frac{ln\,\epsilon}{ln\, q} \)

Comments

Ja genau so meint ich das. Hatte mich etwas ungenau ausgedrückt.

Dank dir.

Answer 3

Du willst also eigentlich zeigen, dass es für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N_{\epsilon}\) gibt, so dass für \(n\geq N_{\epsilon}\) gilt

$$q^n < \epsilon$$

Eine Methode benutzt die binomische Formel

\((1+p)^n = \sum_{k=0}^n\binom nk p^k > np\) für \(n\geq 1\)

Nun schreibst du

\(q= \frac 1{1+p}\) mit \(p = \frac 1q - 1 > 0\)

Jetzt kannst du abschätzen

$$q^n = \frac 1{(1+p)^n}< \frac 1{np} < \epsilon \Leftrightarrow n> \frac 1{p\epsilon}$$

Damit kannst du setzen

$$N_{\epsilon} = \left[ \frac 1{p\epsilon}\right]+1$$