Aquivalenzrelation überprüfe

Question

Sei GL(N) := {S ∈ ℝ^N×N : S regulär}, N ≥ 2. Überprüfen Sie, ob es sich bei

a) A∼B :⇔∃S∈GL(N): B=SAS⁻¹

b) A∼B :⇔∃S∈GL(N),S^-1 =S^T  : B=SAS^-1

c) A∼B :⇔∃S∈GL(N),S=S^⊤: B=SAS⁻¹

um eine Äquivalenzrelation auf ℝ^N×N handelt

Answer 1

z.B. a) Da musst du prüfen auf reflexiv, symmetrisch und transitiv.

reflexiv: Gilt für alle X ∈ ℝ^N×N  X~X

Also klären: Gibt es S∈GL(N): X=SXS⁻¹  . Das stimmt, weil

man für S die Einheitsmatrix nehmen kann und die ist in GL(N).

symm.: Stimmt es, dass wenn X~Y dann auch Y~X ?

Ja, denn wenn X~Y dann gibt es S∈GL(N): Y=SXS⁻¹ 

               Das von rechts mal S gibt

                                      YS =  SXS^-1 S = SXE = SX .

Das von links mal S^-1 gibt  S^-1YS=X . Nun ist aber (S^-1)^-1 = S

und mit S ist auch S^-1 in GL(N).  Also gilt   S^-1Y(S^-1)^-1=X .

Also ist S-1 die Matrix S∈GL(N), für die  X=SYS⁻¹   gilt.

Somit  auch Y~X.

So ähnlich (mach ich mal was kürzer) bei transitiv:

X~Y und Y~Z

==>  Es gibt...  Y=SXS⁻¹ und Z=TYT⁻¹

Mit der Matrix R=ST ( beachte R^-1 = T^-1S^-1 ) hast du

          Z =TYT⁻¹=T(SXS^-1)T⁻¹  = RXR^-1 . q.e.d.

Comments

und b und c?

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Versuche es doch mal entsprechend.

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bekomme es leider nicht hin bis jetzt