Eigenschaften einer Aquivalenzrelation. Relation R C INxIN: R = {(x,y) | x+y größer gleich x*y}

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Relation R ∈ INxIN:
R = {(x,y) | x+y größer gleich x*y}

Welche der drei Eigenschaften einer Aquivalenzrelation hat R, welche nicht?

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen und diese Aufgabe lösen?

Answer 1

Gilt für alle x, dass x+x größer gleich x*x ist?

Wenn x+y größer gleich x*y ist - ist dann auch y+x größer gleich y*x?

Wenn x+y größer gleich x*y ist und  y+z größer gleich y*z ist - ist dann auch x+z größer gleich x*z ?

Comments

1.

Könntest du es bitte etwas detaillierter erklären ob diese Gleichung reflexiv, symmetrisch oder transitiv ist und wenn nein, wieso?

2.

Und wieso wurde zuletzt „z“ benutzt es ist ja nicht in der Gleichung gegeben.

Vielen Dank für deine Antwort.

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Deine letzte Frage bringt mich zu der Frage: Wie habt Ihr "transitiv" definiert?

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Könntest du es bitte etwas detaillierter erklären ob diese Gleichung reflexiv, symmetrisch oder transitiv ist und wenn nein, wieso?

Gegenfrage: Kannst du einige der 3 Fragen

Gilt für alle x, dass x+x größer gleich x*x ist?

Wenn x+y größer gleich x*y ist - ist dann auch y+x größer gleich y*x?

Wenn x+y größer gleich x*y ist und y+z größer gleich y*z ist - ist dann auch x+z größer gleich x*z ?

beantworten?

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Gilt für alle x, dass x+x größer gleich x*x ist?

Es sind keine Zahlen gegeben, bis zu 2 gilt der Satz. Also nein.

Wenn x+y größer gleich x*y ist - ist dann auch y+x größer gleich y*x?

Ja aber nur bei bestimmten Zahlen.

Wenn x+y größer gleich x*y ist und y+z größer gleich y*z ist - ist dann auch x+z größer gleich x*z ?

In der Gleichung ist kein z gegeben deshalb verstehe ich nicht was genau du damit meinst. Also nein schätze ich.

Oder denke ich zu kompliziert?

Danke.

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Wenn x+y größer gleich x*y ist - ist dann auch y+x größer gleich y*x?

Ja aber nur bei bestimmten Zahlen.

Darüber solltest du noch einmal nachdenken.

x+y ist genau so viel wie y+x.

x*y ist genau so viel wie y*x.

Wenn also x+y größer gleich x*y gilt, dann gilt garantiert auch

y+x größer gleich y*x.

Bei der dritten Frage:

Überzeuge dich am Beispiel x=1, y=3, z=1,

dass hier

x+y größer gleich x*y

und

y+z größer gleich y*z gelten.

Gilt dann auch x+z größer gleich x*z ?

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Es gilt nicht für alle Zahlen dass x+x größer gleich x*x ist.

Z.B. x = 5.

Wenn x+y größer gleich x*y ist - ist dann auch y+x größer gleich y*x?

Definitiv ja.

Wenn x+y größer gleich x*y ist und y+z größer gleich y*z ist - ist dann auch x+z größer gleich x*z ?

ja.

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Sorry, war ein Zahlendreher. Das Beispiel sollte x=3, y=1, z=3 sein.

Hier gilt

x+y  > x*y

und

y+z > y*z,

aber nicht

x+z > x*z.

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Also hat die Relation R die Eigenschaften, dass es reflexiv und symmetrisch ist, aber nicht transitiv?

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Reflexiv hast du selbst verneint!

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Ach ich bin etwas durcheinander gekommen ja:

R ist symmetrisch aber nicht reflexiv da nicht für alle x gilt dass x+x größer gleich x*x ist.

und nicht transitiv sieht man auf dem letzten Beispiel.

Vielen Dank