Um deine konkrete Frage zu beantworten:
Nein, es ist nicht so, dass man genau die Ableitung haben muss. Siehe mein Beispiel unten.
Entscheidend bei der Substitution ist, einen Ausdruck zu erhalten, von dem man die Stammfunktion bestimmen kann.
Selbstverständlich ist es am schönsten, wenn es einem gelingt, wie folgt aufzusplitten:
\(h(x) = a\cdot f(u(x))\cdot \frac{du}{dx}\), wobei \(a\) eine geeignete Konstante ist.
Das ist genau, was in deinem Beispiel passiert.
Hier nun ein Beispiel, das so ähnlich aussieht wie deins, wo aber Substitution ganz anders funktioniert:
$$ \int \frac 1{\sqrt{1-x^2}}\; dx \stackrel{x=\sin u}{=} \int \frac1{\sqrt{1-\sin^2 u}} \cdot \cos u\; du =\int du =u + C =\arcsin x + C$$