C-linear unabhängige Vektoren

Question

Die Vektoren 1, 2i und 1+i sind im

ℝ-Vektorraum ℂ-linear unabhängig.

Versteht jemand wie ich diese Aussage beweisen bzw widerlegen soll?

Vielen Dank!

Comments

Können 3 Vektoren in einem 2-dimensionalen Raum linear unabhängig sein?

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Um diese Aussage zu beweisen oder zu widerlegen, können Sie den Linearkombinationstest anwenden. Wenn es möglich ist, eine Linearkombination dieser drei Vektoren zu finden, die Null ist, dann sind sie linear abhängig. Andererseits, wenn keine solche Linearkombination gefunden werden kann, sind sie linear unabhängig.

Um die Null-Vektorlinearkombination zu finden, müssen Sie drei Skalare a, b und c finden, so dass a * 1 + b * 2i + c * (1 + i) = 0.

Das bedeutet, dass a + c = 0 und b + 2c = 0.

Die Lösung dieser Gleichungen lautet a = -c und b = -2c, wobei c beliebig ist. Das bedeutet, dass es möglich ist, eine Null-Vektorlinearkombination zu finden, indem man die Skalare a, b und c angibt. Daher sind die Vektoren 1, 2i und 1 + i linear abhängig und die Aussage ist falsch.
?!

Answer 1

Bestimme alle \(\left(\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}\right)\in \mathbb{R}^3\), so dass

        \(x\cdot 1 + y\cdot 2\mathrm{i} + z\cdot (1+\mathrm{i}) = 0\)

ist. Falls \(\left(\begin{smallmatrix}0\\0\\0\end{smallmatrix}\right)\) die einzige Lösung ist, dann sind die Vektoren linear unabhängig, ansonsten sind sie linear abhängig.

Dieser Ansatz folgt direkt aus der Defintion der linearen Unabhängigkeit.