Lösung von der Gleichung (x-2)(x+3)=6?

Question

Brauche Hilfe beim lösen der gleichung:

(x-2)(x+3) = 6

Answer 1

Hier wird zweimal das Distributivgesetz angewandt. Es lautet:

a*(b+c) = ab + ac

Wendest du es links das erste Mal an mit a=(x-2), b=x und c=3, dann erhältst du:

(x-2)*(x+3) = 6

(x-2)*x + (x-2)*3 = 6

Und jetzt wendest du es nochmal auf die beiden einzelnen Klammern an:

x*x - 2*x + x*3 - 2*3 = 6

x² - 2x + 3x - 6 = 6

x² + x - 12 = 0

 

Das lässt sich nun z.B. mit der pq-Formel lösen:

x_1/2 = -1/2 ± √(1/4+12)

x_1/2 = -1/2 ± 7/2

x₁ = 3
x₂ = -4

Answer 2

Wie man das rechnerisch löst, hat Julian Mi schon gezeigt.

Hier noch ein zusätzlicher Lösungsweg, der sich wegen der einfachen Zahlen aufdrängt:

 

(x-2)(x+3) = 6                

Wenn du vermutest, dass ganzzahlige Lösungen rauskommen, überlegst du dir, wie du 6 in ein Produkte zerlegen könntest

 6=2*3 =(-2)*(-3)=6*1= (-6)*( -1) 

da( x-2) um 5 kleiner als (x+3) ist,

kommen

(-6)(-1) und 1*6 in Frage

bei (-6)(-1) ist x₁ = -4

bei 1*6 ist x₂= 3

Beide x-Werte sind also Lösungen. Weitere Lösungen gibt's nicht, da in der ursprünglichen (quadratischen) Gleichung kein Exponent > 2 vorkommt.