Zeigen Sie, dass die FKT eine reelle NS besitzt

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Habe Probleme mit folgender Aufgabe

Sei n e N mit n≥1. Zeigen Sie, dass die FKT

f : R---->R   f(x) = x²ⁿ - 3xⁿ  +1

mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.

verstehe nicht wie man mit dem n in der Gleichung umgeht. Wir haben bisher immer nur mit der Variable x gearbeitet.

Für n= 1 ergibt sich im geschlossenem Intervall von 0 und 2 ein Vorzeichenwechsel der FKT-Werte und somit kann man mit dem Zwischenwertsatz argumentieren und behaupten das genau zwischen diesen x-Werten eine Nullstelle existiert. Habe keinen Plan wie ich mit den anderen "n" jetzt verfahren soll und hoffe echt auf eure Hilfe.

LG

Answer 1

Substituiere u =x^n.

u^2-3u+1=0

u=1,5±√(2,25-1)=1,5±√(1,25)

Beide Werte sind positiv.

Damit gibt es reelle Lösungen für u=x^n.

Oder:

f(0)=+1>0 und f(1)=-1<0 für alle n.

:-)