gebrochenrationale Funktion, hebbare Lücke, NS, Polstelle

Question

Aufgabe: Gegeben ist eine gebrochen-rationale Fkt f: D ⊆ ℝ->ℝ mit

f(x) = (x-a)(x-1)(x-2)/ (x-b)(x-2)(x-3) für x ∈ D,

wobei a, b reelle Parameter sind.
Bestimme a und b so, dass
1.) x₁= -1 eine NS und x₂=1 eine hebbare Lücke von f ist.
2.) x₁=2 eine Polstelle und x₂=3 eine hebbare Lücke ist.
3.) x₁=-4 eine NS ist und x₂=1, x₃=2 eine hebbare Lücke von f ist.
4.) x₁=0 eine hebbare Lücke von f ist

Problem/Ansatz: Hoffentlich kein Problem sondern eher Frage zur Korrektheit
1.) a=-1 -> x1=-1 NS, b=1 -> x2=1 hebbare Lücke ?
2.) a=3 -> x2=3 hebbare Lücke , b=2 ->x1=2 Polstelle? Denn für x1 kann man ja oben (x-2) erstmal rauskürzen und dann passt b=2
3.) a=-4 -> x1=-4 NS , b=1 -> x2=1, x3=2 hebbare Lücke, hier wieder die ungekürzte variante, damit x2 und x3 funktioniert
4.) a=b=0 ?

LG und Danke im Voraus

Answer 1

Bestimme a und b so, dass
1.) x₁= -1 eine NS und x₂=1 eine hebbare Lücke von f ist.

a= - 1; b=1

2.) x₁=2 eine Polstelle und x₂=3 eine hebbare Lücke ist.

a= 3; b≠3

Comments

b ungleich 3? Das versteh ich nicht. Ist b nicht 2 ? Denn (x-2) im Zähler und Nenner lassen sich ja rauskürzen und wenn b=2 ist, dann kann 2 eingesetzt werden und der Nenner wird 0, der Zähler aber bleibt ungleich 0.