Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P, der von den Punkten A, B, C, D und S jeweils die gleiche Entfernung hat.

Question

Aufgabe:6. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(5|2|-1), B(3|6|3) und
D(1|-2|1) gegeben.
) Zeigen Sie, dass die Vektoren AB und AD orthogonal sind und gleiche Beträge haben.
b) Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes C so, dass ABCD ein Ouadrat wird
Bestimmen Sie die Koordinaten des Quadratmittelpunktes M.
c) Das Quadrat ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S (6|0|6).
Zeigen Sie, dass MS die Höhe der Pyramide ist.
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
d) Zeigen Sie, dass die Ebene E: 10x + y +4z= 48 die Punkte A und B enthält.
e) Zeigen Sie, dass die Ebene E aus d) die Pyramide aus c) in einer Trapezfläche schneidet.
Ist dieses Trapez gleichschenklig?
f) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P, der von den Punkten A, B, C, D und S jeweils die gleiche Entfernung hat.

Problem/Ansatz:Also ich habe schon alle Ergebnisse für a b c d e aber bei f benötige ich dringend einen Lösungsansatz.

Der Punkt muss ja auf der Höhe liegen, weil die Grundfläche ein Quadrat ist.

Der Mittelpunkt liegt bei M(2/2/2)

Wie kann ich nun den gesuchten Punkt ermitteln?

Answer 1

Hallo,

stelle die Gleichung der Geraden durch M und S auf.

Dann kann man den Punkt mit den Koordinaten x, y und z schreiben als

\(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 4\\-2\\4 \end{pmatrix}\)

und die einzelnen Koordinaten

\(x=2+4t\\ y=2-2t\\ z=2+4t\)

Die Vektoren AP und SP sind dann

\(\overrightarrow{AP}=\begin{pmatrix} 4t-3\\-2t\\4t+3 \end{pmatrix}\quad \overrightarrow{SP}=\begin{pmatrix} 4t-4\\2-2t\\4t-4 \end{pmatrix}\)

Berechne jeweils die Längen der Vektoren, setze sie gleich und löse nach r auf. Setze dein Ergebnis in die Geradengleichung ein und du hast P.

Gruß, Silvia

Comments

Hallo! Danke für den Lösungsansatz!

Bei mir kommt für den Punkt jedoch (1/2,5/1) raus und das liegt Nicht mehr auf ms sondern darunter. Kannst du vielleicht sehen wo mein Fehler liegt?

Text erkannt:

Matheheft
\( \begin{array}{l} \text { यs } g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ \frac{2}{2} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array}\right) \\ P=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{3} \\ x_{3} \end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{3}^{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} 4 \\ -\frac{4}{4} \\ 4 \end{array}\right) \\ \text { LGS } I x_{1}=2+4 t \quad \overrightarrow{A P}=\left(\begin{array}{c} 2+4 t-5 \\ 2-22 t-2 \\ 2+4 t+1 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} 4 t-3 \\ -2 t \\ 4 t+3 \end{array}\right) \\ |\overrightarrow{S P}|=|\overrightarrow{A P}| \\ |\overrightarrow{S P}|=\sqrt{(4 t-4)^{2}+(2-2 t)^{2}+(4 t-4)^{2}}=\sqrt{16 t^{2}-32 t+16+4-8 t+4 t^{2}+16 t^{2}-32 t+46} \\ -\sqrt{36 t^{2}-72 t+36}-\sqrt{(6 t-6)^{2}}-6 t-6 \\ \begin{aligned} |\overrightarrow{A P}| & =\sqrt{(4 t-3)^{2}+(-2 t)^{2}+(4 t+3)^{2}}=\sqrt{16 t^{2}-24 t+9+(-2 t)^{2}+16 t^{2}+24 t+9} \\ & =\sqrt{36 t^{2}+18} \end{aligned} \\ \sqrt{36 t^{2}+18}=6 t+6 \text {, Quddieren } \\ 36 t^{2}+18=(6 t+6)^{2} \\ 36 t^{2}+18=36 t^{2}+72 t+361-36 t^{2} \\ 18 \quad-72 t+36 \quad 1-36 \\ -18=72+\quad 1.72 \\ \overline{\mu s} g \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)-\frac{1}{4} \cdot\left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ 4 \end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c} 1 \\ 25 \\ 1 \end{array}\right) \\ \end{array} \)
Winkelberechnung

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Der Fehler ist gelb markiert

linke Seite ist 6t - 6

Ich komme auf t = 0,25 unt dem Punkt P (3|1,5|3)

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Ah Dankeschön !

Du hast mir wirklich sehr sehr toll geholfen!!!

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Das freut mich.

Answer 2

zu f) \( \vec{OP} \)=\( \frac{1}{2} \) ·(\( \vec{AB} \)+\( \vec{AD} \))

Comments

Nein. Lies die Aufgabe richtig.

Answer 3

Hallo Schneide in Gedanken die Pyramide durch die Punkte ASD dann hast du ein Dreieck mit Höhe H über (2,2,2)

zeichne einen Punkt auf H ein, bestimme seine Entfernung von S und mit Pythagoras die von A, setze sie Gleich

geometrisch schneide die Mittelsenkrechte von AS mit H.

Gruß lul

Answer 4

Jeder Punkt auf der Gerade MS hat Koordinaten der Form (6-4t | 0+2t |6-4t). Der Abstand eines solchen Punktes zu S ist \( \sqrt{(-4t)^2+(2t)^2+(-4t)^2}=6t \).

Der Abstand eines solchen Punktes zu A ist \( \sqrt{(6-4t-5)^2+(2t-2)^2+(6-4t-(-1))^2} \) und soll genau so groß sein.

Löse also \( \sqrt{(6-4t-5)^2+(2t-2)^2+(6-4t-(-1))^2}=6t \)