Ist die n-te Potenz eines teilerfremden Bruches wieder teilerfremd?

Question

Aufgabe:

Wie kann man beweisen, dass die n-te Potenz eines teilerfremden Bruches wieder einen teilerfremden Bruch ergibt?

Problem/Ansatz:

Ich möchte einen echten teilerfremden Bruch potenzieren, also \( ( \dfrac{a}{b})^{n} = y \phantom{15} a,b,n \in \mathbb{N} \)

Ist das Ergebnis dann wieder ein teilerfremder Bruch und warum?

Ich denke, dass man einfach Zähler und Nenner in Primfaktoren zerlegt und dann jeweils  jeder Primfaktor nur mit einer bestimmten Vielfalt vorkommt.

Aber wie kann man das allgemein als Beweis formulieren?

Answer 1

Hallo

du hast ja den Beweis schon geliefert, wenn Z und N nicht beide durch p teilbar sind kann das auch nicht für Z^n/N^n sein.

Gruß lul