Ist Differentiation eine lineare Transformation?

Question

a) Wähle eine Basis für den betrachteten Raum (Polynome höchstens 3. Grades) und schreibe auf, wie die Differenzierung auf jedes der Basiselemente wirkt. Ist Differentiation eine lineare Transformation?

b) Schreiben Sie die Matrix zur Differentiation in dieser Basis auf. Ist die Matrix invertierbar?

c) Ermutigt durch Ihre Leistungen entscheiden Sie sich, den Integrationsprozess zu wiederholen. Erklären Sie, ob dies möglich ist oder nicht, und notieren Sie, wenn dies möglich ist, Ihre Entscheidungsgrundlage und die Matrix, die die Integration implementiert.

Für a) ist so gemeint oder? {1, x, x^2, x^3} aber was heißt schreibe auf, wie die Differenzierung auf jedes der Basiselemente wirkt. Ist Differentiation eine lineare Transformation?

Für b) M = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \) stimmt die Matrix so?

Für c) habe leider nicht verstanden

Answer 1

wie die Differenzierung auf jedes der Basiselemente wirkt.

\(\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^3 &= 3x^2\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2 &= 2x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x &= 1\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}1 &= 0\\ \end{aligned}\)

Schreiben Sie die Matrix zur Differentiation in dieser Basis auf.

Die Spalten der Matrix sind die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren.

Geht man von der geordneten Basis \((x^3,x^2,x,1)\) aus, dann ist

        \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^3 = 0x^3 + 3x^2 + 0x + 0\cdot 1\).

Koordinatenvektor des Bildes von \(x^3\) ist somit \(\begin{pmatrix}0\\3\\0\\0\end{pmatrix}\).

Ermutigt durch Ihre Leistungen entscheiden Sie sich, den Integrationsprozess zu wiederholen.

Das ist keine gute Idee.