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Wie viele magische 3×3-Quadrate mit einer magischen Summe unter 160 gibt es, die genau 8 verschiedene Primzahlen enthalten?

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Kann man das mit System lösen oder nur durch Probieren/Rumspielen?

Dein Sonntagsrätsel?

Wenn man alle Randbedingungen berücksichtigt, bleibt zum Spielen nicht mehr viel Platz.

Und: Ja, mein Sonntagsrätsel.

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Hallo Roland,

die Kombination von "alle" magische Quadrate mit magischer Summe unter 160 und "Primzahlen" lässt eigentlich nur die Option alle Möglichkeiten durchzuprobieren. Bleibt die Frage wie man den Raum all dieser magischen Quadrate erfasst.

Jedes 3x3 magische Quadrat lässt sich als Linearkombination folgender Matrizen schreiben:$$M_1=\begin{pmatrix}1& -1& 0\\ -1& 0& 1\\ 0& 1& -1\end{pmatrix}, \quad M_2=\begin{pmatrix}0& -1& 1\\ 1& 0& -1\\ -1& 1& 0\end{pmatrix}, \quad M_3=\begin{pmatrix}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{pmatrix}$$das magische Quadrat \(Q\) ist dann schlicht:$$Q = a_1M_1 + a_2M_2 + a_3M_3\quad a_{1,2} \in \mathbb{Z}\backslash 0, \space a_3\in\mathbb{N}$$Die magische Summe \(m\) ist hier \(m=3a_3\). Daraus folgt dann \(0 \lt a_3 \lt 160/3\)

Der Suchraum lässt sich nun einschränken durch folgende Überlegungen:

- \(0 \lt a_1 \lt a_3\) und \(0 \lt a_1 < \min( a_2,\, a_3-a_2)\)

- \(a_3 \) ist ungerade und \(a_{1,2}\) sind gerade (sie müssen sogar durch 6 teilbar sein!)

Ist \(a_1 \gt a_2\) so ist dieses Quadrat die um die horizontale Achse gespiegelte Version, als wenn man \(a_1\) und \(a_2\) vertauscht.  Gleichheit kann man ausschließen, da die Zahlen sonst nicht paarweise vesrchieden sind. Die Summe von \(a_1+a_2\) muss kleiner als \(a_3\) sein, da ansonsten negative Zahlen (bzw. \(0\)) im Quadrat auftauchen. Weiter kann man die Kombinationen ausschließen, bei denen \(a_1=2a_2\) ist. In diesem Fall wären die Zahlen \(q_{13}=q_{23}\) und \(q_{21}=q_{31}\).

Das kleinste derart konstruierte Quadrat ist:$$a_{1,2,3} = (18,\,6,\,25) \implies \begin{pmatrix}43& 1& 31\\ 13& {\color{red}25}& 37\\ 19& {\color{red}49}& 7\end{pmatrix}\quad m=75$$Dies kommt aber nicht in Frage, da es zwei Quadratzahlen enthält. Zusammen mit diesem verbleiben nur noch 75 Möglichkeiten, bei denen geprüft werden muss, ob die Anzahl der Primzahlen gleich 8 ist.

Und dafür hilft der bewährte Rechenknecht und der spuckt ganze 12 Quadrate aus. Die Zahl, die keine Primzahl ist, habe ich rot markiert:$$Q(m=87)=\begin{pmatrix}47& 5& {\color{red}35}\\ 17& 29& 41\\ 23& 53& 11\end{pmatrix}\\Q(m=105)=\begin{pmatrix}53& 11& 41\\ 23& {\color{red}35}& 47\\ 29& 59& 17\end{pmatrix}\\Q(m=111)_a=\begin{pmatrix}67& {\color{red}1}& 43\\ 13& 37& 61\\ 31& 73& 7\end{pmatrix}\\Q(m=111)_b=\begin{pmatrix}61& 7& 43\\ 19& 37& {\color{red}55}\\ 31& 67& 13\end{pmatrix}\\Q(m=123)=\begin{pmatrix}59& 11& 53\\ {\color{red}35}& 41& 47\\ 29& 71& 23\end{pmatrix}\\Q(m=129)=\begin{pmatrix}73& 7& {\color{red}49}\\ 19& 43& 67\\ 37& 79& 13\end{pmatrix}\\Q(m=141)_a=\begin{pmatrix}83& 5& 53\\ 17& 47& {\color{red}77}\\ 41& 89& 11\end{pmatrix}\\Q(m=141)_b=\begin{pmatrix}{\color{red}77}& 11& 53\\ 23& 47& 71\\ 41& 83& 17\end{pmatrix}\\Q(m=141)_c=\begin{pmatrix}71& 5& {\color{red}65}\\ 41& 47& 53\\ 29& 89& 23\end{pmatrix}\\Q(m=159)_a=\begin{pmatrix}{\color{red}95}& 5& 59\\ 17& 53& 89\\ 47& 101& 11\end{pmatrix}\\Q(m=159)_b=\begin{pmatrix}89& 11& 59\\ 23& 53& 83\\ 47& {\color{red}95}& 17\end{pmatrix}\\Q(m=159)_c = \begin{pmatrix}83& 17& 59\\ 29& 53& {\color{red}77}\\ 47& 89& 23\end{pmatrix}$$Bis \(m\le 200\) würden noch weitere 5 Quadrate hinzu kommen. Bei den magischen Summen \(m=177\) und \(m=195\).

Gruß Werner

Avatar von 48 k

Btw.: das magische Quadrat mit der kleinsten magischen Summe, welches nur aus Primzahlen besteht, ist$$\begin{pmatrix}101& 5& 71\\ 29& 59& 89\\ 47& 113& 17\end{pmatrix}\quad m=177$$

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die genau 8 verschiedene Primzahlen enthalten?

kann bedeuten, dass eine Primzahl doppelt vorlkommt, oder dass auch eine Nicht-Primzahl dabei ist? Primzahlen sind (mit einer Ausnahme) ungerade. Sind alle beteiligten Primzahlen ungerade, so ist auch die magische Summe ungerade.

Kann die magische Summe gerade sein?

Nein, kann sie nicht. Selbst, wenn die Primzahl 2 vorkommt und eventuell noch eine gerade Nicht-Primzahl vorkommt, können diese beiden geraden Zahlen nicht in allen 8 Summen (3 Zeilen, 3 Spalten, 2 Diagonalen) vorkommen. Also hat mindestens eine der 8 Summen nur ungerade Summanden, und die magische Summe ist ungerade.

Nachdem wir die Zahl 2 ausgeschlossen haben: Alle weiteren Primzahlen lassen sich (mit Ausnahme der 3) in der Form 6k+1 oder 6k-1 darstellen. Die magischen Summen müssen natürlich auch in jeder Zeile, Spalte,... den gleichen Rest mod 6 lassen.

Das ist nicht möglich, wenn die Primzahl 3 mit vorkommt.

Das ist auch nicht möglich, wenn sowohl Reste -1als auch Reste +1 vorkommen, weill dann nicht alle 8 Summen den selben Rest lassen. Also sind nur Summanden der Form 6k+1 oder nur Summanden der Form 6k-1 enthalten.

Unklar in der Aufgabenstellung ist weiterhin, ob Drehungen/Spiegelungen einer gefundenen Eintragung mitgezählt werden sollen oder nicht.

Es ist jetzt nur noch Fleißarbeit, die verbleibenden Möglichkeiten zu probieren.

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@abakus: Vielen Dank für dein vertieftes Nachdenken über meine Sonntagsaufgabe. Wie du richtig sagst, muss die magische Summe ungerade sein. Die Frage, ob Drehungen und Spiegelungen einer gefundenen Lösung ebenfalls gezählt werden sollen ist nicht wirklich von Bedeutung, weil man ja weiß, wie viele Drehungen und Spielelungen es gibt. Die magische Summe muss übrigens durch 3 teilbar sein und ein Drittel der magischen Summe ist die mittlere Zahl des magischen Quadrats. Das hilft doch sicher, die Arbeit an diesem Problem einzugrenzen. Tatsächlich soll keine Primzahl doppelt vorkommen. Bei magischen Quadraten besteht die Forderung nach paarweiser Verschiedenheit der Zahlen.

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Hallo,

ich habe zwei Lösungen gefunden.

Die Quadrate können so aufgebaut sein:

z-18z+12z+6
z+24zz-24
z-6z-12z+18

z darf höchstens 160/3 bzw. 53 betragen.

In den neun Zahlen muss genau eine nicht-prime Zahl vorkommen.

Das geht mit z=29 und z=35.

114135
53295
231747


174741
593511
292353

Gibt es noch weitere Möglichkeiten?
Da z maximal 53 beträgt, müssen die 9 Zahlen aus einer der beiden Mengen gewählt werden:

{5;11;17;23;29;35;41;47;53;59;65;71;77;83;89;95;101}

{7;13;19;25:31;37;43;49;55;61;67;73;79;85;91}

Die Summe aus der größten und der kleinsten Zahl muss das Doppelte der mittleren Zahl sein.

Die nicht-primen Zahlen sind fett dargestellt.

Vier Zahlen sind kleiner als z und ebenso viele größer als z. Damit sind in der ersten Menge 29 bis 53 potentielle Kandidaten, in der zweiten Menge 31 bis 49.

Für 29 gibt es nur die oben genannte Möglichkeit, da genau vier Zahlen kleiner sind.

Für 35 gibt es auch nur die genannte Möglichkeit, da 65 nicht dabei sein darf.

...



:-)

Avatar von 47 k

@Monty: Das sind sehr weitreichende Überlegungen, mit denen du zwei der mindestens 6 möglichen Lösungen findest. Auch dieser Aufbau ist denkbar:

z-6z+36z-30
z-24zz+24
z+30z-36z+6

Dann kann z=37, 43, 47 oder 53 sein.

Oh, jetzt hast du die fehlenden vier ja schon verraten.

:-)

Ja, die Frage lautet jetzt: Gibt es weitere?

Wenn eine auf 5  endende Zahl nicht die zentrale Zahl ist, endet eine weitere Eintragungen auf 5... Eine davon muss die Zahl 5 selbst sein.

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