Hallo Roland,
die Kombination von "alle" magische Quadrate mit magischer Summe unter 160 und "Primzahlen" lässt eigentlich nur die Option alle Möglichkeiten durchzuprobieren. Bleibt die Frage wie man den Raum all dieser magischen Quadrate erfasst.
Jedes 3x3 magische Quadrat lässt sich als Linearkombination folgender Matrizen schreiben:$$M_1=\begin{pmatrix}1& -1& 0\\ -1& 0& 1\\ 0& 1& -1\end{pmatrix}, \quad M_2=\begin{pmatrix}0& -1& 1\\ 1& 0& -1\\ -1& 1& 0\end{pmatrix}, \quad M_3=\begin{pmatrix}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{pmatrix}$$das magische Quadrat \(Q\) ist dann schlicht:$$Q = a_1M_1 + a_2M_2 + a_3M_3\quad a_{1,2} \in \mathbb{Z}\backslash 0, \space a_3\in\mathbb{N}$$Die magische Summe \(m\) ist hier \(m=3a_3\). Daraus folgt dann \(0 \lt a_3 \lt 160/3\)
Der Suchraum lässt sich nun einschränken durch folgende Überlegungen:
- \(0 \lt a_1 \lt a_3\) und \(0 \lt a_1 < \min( a_2,\, a_3-a_2)\)
- \(a_3 \) ist ungerade und \(a_{1,2}\) sind gerade (sie müssen sogar durch 6 teilbar sein!)
Ist \(a_1 \gt a_2\) so ist dieses Quadrat die um die horizontale Achse gespiegelte Version, als wenn man \(a_1\) und \(a_2\) vertauscht. Gleichheit kann man ausschließen, da die Zahlen sonst nicht paarweise vesrchieden sind. Die Summe von \(a_1+a_2\) muss kleiner als \(a_3\) sein, da ansonsten negative Zahlen (bzw. \(0\)) im Quadrat auftauchen. Weiter kann man die Kombinationen ausschließen, bei denen \(a_1=2a_2\) ist. In diesem Fall wären die Zahlen \(q_{13}=q_{23}\) und \(q_{21}=q_{31}\).
Das kleinste derart konstruierte Quadrat ist:$$a_{1,2,3} = (18,\,6,\,25) \implies \begin{pmatrix}43& 1& 31\\ 13& {\color{red}25}& 37\\ 19& {\color{red}49}& 7\end{pmatrix}\quad m=75$$Dies kommt aber nicht in Frage, da es zwei Quadratzahlen enthält. Zusammen mit diesem verbleiben nur noch 75 Möglichkeiten, bei denen geprüft werden muss, ob die Anzahl der Primzahlen gleich 8 ist.
Und dafür hilft der bewährte Rechenknecht und der spuckt ganze 12 Quadrate aus. Die Zahl, die keine Primzahl ist, habe ich rot markiert:$$Q(m=87)=\begin{pmatrix}47& 5& {\color{red}35}\\ 17& 29& 41\\ 23& 53& 11\end{pmatrix}\\Q(m=105)=\begin{pmatrix}53& 11& 41\\ 23& {\color{red}35}& 47\\ 29& 59& 17\end{pmatrix}\\Q(m=111)_a=\begin{pmatrix}67& {\color{red}1}& 43\\ 13& 37& 61\\ 31& 73& 7\end{pmatrix}\\Q(m=111)_b=\begin{pmatrix}61& 7& 43\\ 19& 37& {\color{red}55}\\ 31& 67& 13\end{pmatrix}\\Q(m=123)=\begin{pmatrix}59& 11& 53\\ {\color{red}35}& 41& 47\\ 29& 71& 23\end{pmatrix}\\Q(m=129)=\begin{pmatrix}73& 7& {\color{red}49}\\ 19& 43& 67\\ 37& 79& 13\end{pmatrix}\\Q(m=141)_a=\begin{pmatrix}83& 5& 53\\ 17& 47& {\color{red}77}\\ 41& 89& 11\end{pmatrix}\\Q(m=141)_b=\begin{pmatrix}{\color{red}77}& 11& 53\\ 23& 47& 71\\ 41& 83& 17\end{pmatrix}\\Q(m=141)_c=\begin{pmatrix}71& 5& {\color{red}65}\\ 41& 47& 53\\ 29& 89& 23\end{pmatrix}\\Q(m=159)_a=\begin{pmatrix}{\color{red}95}& 5& 59\\ 17& 53& 89\\ 47& 101& 11\end{pmatrix}\\Q(m=159)_b=\begin{pmatrix}89& 11& 59\\ 23& 53& 83\\ 47& {\color{red}95}& 17\end{pmatrix}\\Q(m=159)_c = \begin{pmatrix}83& 17& 59\\ 29& 53& {\color{red}77}\\ 47& 89& 23\end{pmatrix}$$Bis \(m\le 200\) würden noch weitere 5 Quadrate hinzu kommen. Bei den magischen Summen \(m=177\) und \(m=195\).
Gruß Werner
