Weshalb ist das keine Regelfunktion?

Question

Aufgabe:

Hallo zusammen, ich habe folgende Funktion, die keine Regelfunktion ist und ich muss nun begründen weshalb.

\( f(x)=\left\{\begin{array}{l}1 \quad , \quad x \in \mathbb{Q} \\ 0 \quad , \quad x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\end{array} \quad (\right. \) mit \( x \in[-1,1] ) \)

Problem/Ansatz:

Ich habe mir überlegt zu zeigen, dass die Funktion keinen rechts und linksseitigen Grenzwert hat, also einer der beiden nicht existiert. Doch warum ist das hier der Fall? Ich habe noch ein wenig Probleme bezüglich rechts/links GW…

Vielen Dank für euere Hilfe.

Answer 1

In jedem Intervall existieren sowohl rationale als auch irrationale Zahlen. Das führt dazu, dass in jedem Intervall \((x-\delta,x)\subseteq [-1,1]\) sowohl ein \(x_0\) mit \(f(x_0)=0\), also auch ein \(x_1\) mit \(f(x_1)=1\) existiert.

Comments

Dankeschön:)

Aber warum ex. dann kein links/rechtsseitiger GW? Ich habe versucht es mit aufzuzeichnen, komme aber auf keinen grünen Zweig...

Ich habe es mir auch überlegt mit Folgen zu erklären...

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Damit ein linksseitiger Grenzwert \(a\) von \(f\) für \(x\to x_0\) existiert, muss für jedes \(\varepsilon > 0\) ein \(\delta > 0\) existieren, so dass \(|f(x) - a| < \varepsilon\) für alle \(x \in (x_0-\delta,x_0)\subseteq [-1,1]\) gilt.

Für \(\varepsilon = \frac{1}{3}\) existiert aber ein solches \(\delta\) nicht. Grund ist, dass in \((x_0-\delta,x_0)\) sowohl ein \(x\) mit \(f(x) = 0\), als auch ein \(x\) mit \(f(x) = 1\) existiert und unabhängig von \(a\)

        \(|1-a|> \frac{1}{3}\) oder \(|0-a| > \frac{1}{3}\)

ist.