Wie groß ist die graue Fläche?

Question

Die abgebildete Fläche wird von 4 Halbkreisen mit 3 verschiedenen Radien umschlossen:

BC ist doppelt so lang, wie AB und BD hat die Länge 4√1,5. Wie groß ist die graue Fläche?

Answer 1

AB=a

BC=2a

Zwei Radien sind gleich, also die mittleren. Daraus folgt:

Durchmesser großer Kreis: 5a

BD^2=3a•2a=6a^2

BD^2=(4√1,5)^2=24=6a^2 → a=2

A_grau = A_obererHalbkreis - A_kwHKzAuB

A_kwHKzAuB :

Fläche des kleinen weißen Halbkreises zwischen A und B

A_grau =½ π•(5a/2)^2 - ½ π •(a/2)^2

         =½ π•25 - ½ π •1

         =12π

:-)

Answer 2

nennen wir die Strecke BC x und die Strecke BD h. Zudem habe ich den Punkt E zugefügt. Die Punkte ECD bilden ein Dreieck mit einem rechten Winkel bei D.

Der Höhensatz besagt, dass das Quadrat der Höhe h gleich dem Produkt der Abschnitte der Hypotenuse p und q ist. In diesem Fall h²=(1,5x)·x ; h ist gegeben, damit kannst du x bzw BC ausrechnen. Der Rest ist Fleißarbeit der Kreisflächenberechnung.

Wir bestätigen gerne dein Ergebnis.