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ABCD ist ein Quadrat. Wie groß ist die grau unterlegte Fläche, wenn in der Skizze die anderen Flächenmaße angegeben sind:

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Die Dreiecke ABF und BCG sind kongruent, da die Seiten des Quadrats gleichlang sind und in den Ecken rechte Winkel sind. Da die Flächeninhalte gleich sind, müssen auch die Seiten BF und CG gleichlang sein.

Bei E schneiden sich die Strecken AF und BG orthogonal, da die beiden kongruenten Dreiecke durch eine 90°-Drehung aufeinander abgebildet werden können.

EB ist daher die Höhe im Dreieck ABF.

Da das Dreieck EAB viermal so groß ist wie das Dreieck EBF gilt:

AE=4•EF

Mit dem Höhensatz für das Dreieck ABF erhält man

EB²=AE•EF=4•EF² → EB=2•EF

Da die Dreiecke EBF und GBC ähnlich sind, ist CB=2•GC.

Damit ist G der Mittelpunkt der Seite CD und der Flächeninhalt des Dreiecks BCG ein Viertel des Quadrats, dessen Flächeninhalt 20 beträgt.

Subtraktion der Summe der gegebenen Flächeninhalte von 20 ergibt 6,4FE für das graue Viereck.

:-)

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Das Ganze ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 2√5.

Die gesuchte Fläche beträgt 6.4 FE

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Ergebnis richtig, Herleitung fehlt.

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MBC ist ein Viertel der Fläche, also gilt BC=10 LE.

100 FE - 68 FE = 32 FE.

War das so leicht geplant?

Das war die Antwort der vorherigen Aufgabe.

Die "Verschärfung" zur jetzigen Aufgabe zeigt mir einen von mir getätigten überflüssigen Schritt.

Es hätte genügt:

MBC ist ein Viertel der Fläche, also hat das Quadrat die Fläche 100 FE.

100 FE - 68 FE = 32 FE.

Damit ist die jetzige Aufgabe nicht schwerer geworden, weil man

Das Ganze ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 2√5


vom Coach nicht mal benötigt und einfach nur

MBC ist ein Viertel der Fläche, also hat das Quadrat die Fläche 20 FE.

20 FE - 13,6 FE = 6,4 FE

genügt.


Wenn du aus dieser Aufgabe doch noch eine einigermaßen anspruchsvolle Knobelaufgabe machen willst, könntest du z.B.

 8 und 8 (bzw. jetzt 1,6 und 1,6 ) durch x und x ersetzen.

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In dieser Aufgabe kommt aber kein M vor.

Einwand akzeptiert.

@abakus: Deine Lösung stützt sich auf die unbewiesene Behauptung: "Die obere Ecke des grauen Dreiecks ist Mittelpunkt einer Quadratseite".

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