Wie muss die Koordinate z gewählt werden, damit der Winkel zwischen a und b eine Größe von 45° hat?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren \( \vec{a} \) =\( \begin{pmatrix} 4\\4\\2 \end{pmatrix} \) und \( \vec{b} \) =\( \begin{pmatrix} 6\\0\\z \end{pmatrix} \). Wie muss die Koordinate z gewählt werden, damit der Winkel zwischen \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) eine Größe von 45° hat?

Answer 1

Hallo

cos(45°)=a*b/(|a|*|b|) mit a+b Skalarprodukt,

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

die Formel, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, lautet

\(\displaystyle \cos \alpha=\frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \)

\(\vec{u} \circ \vec{v}\) ist das Skalarprodukt der Vektoren

\(|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|\) ist das Produkt der Beträge/Längen der Vektoren.

\(\displaystyle \cos (45°)=\frac{\begin{pmatrix} 4\\4\\2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 6\\0\\z \end{pmatrix}}{\sqrt{4^2+4^2+2^2}\cdot \sqrt{6^2+z^2}}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{24+2z}{6\cdot \sqrt{36+z^2}}\\\)

Jetzt die Gleichung nach z auflösen. Ich komme auf 6 und \( \frac{6}{7} \)

Gruß, Silvia