Wie muss a gewählt werden damit die Fläche den Inhalt 1/8 hat?

Question

Aufgabe:

Wie muss a  > 0 gewählt werden, damit die rote Fläche den Inhalt \( \frac{1}{8} \) hat?

Der Faktor a ist zu bestimmen, sodass die Fläche im 1 Quadranten 1/8 ergibt

Problem/Ansatz:Ich würde ja nach a umstellen nach dem integrieren, aber bin mir nicht sicher

Answer 1

f ( x ) = x
g ( x ) = a * x^3

Schnittpunkte
x = a*x^3
x = 0
1 = a * x^2
x = ± √1/a
nur erster Quadrant
x = + √(1/a)

Die Differenzfunktion ist
d ( x ) = f - g
d ( x ) = x - a * x^3
Stammfunktion
S ( x ) = x^2/2 - a * x^4/4

Fläche
[ S ] zwischen 0 und √(1/a) ( null entfällt )
(√(1/a))^2/2 - a * (√(1/a))^4/4
1/(2a) - a * 1/(4a^2)

1/(2a) - a * 1/(4a^2) = 1/8
1/(4a) = 1/8
8 = 4a
a = 2

Answer 2

Fläche zwischen 2 Graphen A=∫f(x)-g(x)

f(x)=obere Begrenzung hier die 1.te Winkelhalbierende f(x)=1*x

g(x)=a*x³ untere Begrenzung

Integrationsgrenzen xu=0 und xo= Schniitpunkt f(x)=g(x)  x=a*x³ → 0=a*x³-x=x*(a*x²-1) x1=0 x2=+/-Wurzel(1/a)

A=∫(1*x)-(a*x³)=∫(x-a*x³)*dx=-a*∫x³*dx+∫x*dx

A(x)=-a/4*x^4+1/2*x²+C

A=obere Grenze minus untere Grenze Betrag |xo|=Wurzel(1/a)

A=1/8=(-a/4*(1/a)^(4/2)+1/2*(1/a)^(2/2)) - (0)

1/8=-a/4*1/a²+1(2*a)=-1/4*1/a+2/4*1/a=1/4*1/a

a=1/4*8/1=8/4=2

|xo|=Wurzel(1/2)=0,707..

~plot~2*x^3;1*x;[[-5|5|-3|3]];x=0,707~plot~

Comments

Bei der Schnittpunkt Berechnung hol ich das x durch dividieren auf die andere Seite und deshalb steht dort x^2 und die - 1 eins ist der Faktor 1 den ich von dem x auf die andere Seite geholt habe?