Eine sehr hilfreiche Regel für asymptotisches Ordnen ist
\(n^k \prec a^n\) für \(k\in \mathbb N\) und \(a>1\)
Damit ergibt sich schon mal:$$n^n \prec (n^2)^n = n^{2n} = (n^n)^2$$und$$(n^2)^n \prec (2^n)^n = 2^{n^2} \prec n^{2^n}$$ Außerdem folgt auch sofort$$2^{n^2} \prec 2^{n^n}$$Bleibt nur noch zu vergleichen
\( n^{2^n} \stackrel{?}{\sim} 2^{n^n} \Leftrightarrow 2^n \ln n \stackrel{?}{\sim} n^n \ln 2\)
Das erscheint mir für Kopfrechnen etwas sportlich. Es gilt
\(\sqrt[n]{\frac{2^n\ln n}{n^n}} = \frac{2\ln^{\frac 1n}n}{n}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0\)
Daher ist \(n^{2^n} \prec 2^{n^n}\).
