Integralrechnung - mehrere, kurze Fragen

Question

Gegeben sei folgende Aufgabe:

Ich verstehe folgende Sachen nicht:

1) Wieso wurde hier bei a) beginnend bei f(x0) angefangen? Bei mir auf dem Formelblatt steht folgendes zur Riemannschen Zwischensumme:

f(x1) * (x1-x0) + f(x2)*(x2-x1) ...

2) Wieso wurde hier das letzte, also x3 bzw. f(3) nicht benutzt?
Also bei a) als Lösung steht z.B. S = f(0) · 1 + f(1) · 1 + f(2) · 1

3) Wieso wurde bei den "verschiedenen Zwischenstellen" (s. rechte Seite vom Bild) verschiedene "Rechtecke" benutzt, als tatsächlich bei a) die existieren? Also bei a) existiert z.B. 2 kleine und 1 großes (s. linke Seite, unter dem Graphen von a).

Rechts sind es aber 2 große und 1 kleines. Und wieso wurde bei der Untersumme das große nicht mitgezählt (wurde ja als 0 gesetzt) ? Dementsprechend müsste man ja bei der Obersumme das kleine Rechteck nicht mitzählen bzw. Null setzen, was hier nicht gemacht worden ist!

Answer 1

Hallo

1.  bei 1 steht :"Zwischenstellen am LINKEN Intervallrand.

Deine Formel benutzt den rechten Intervallrand.

die Bilder stellen die 3 Aufgaben, die man rechnen soll bzw die darunter gerechnet werden,

rechtes Bild es wurden verschiedene Methoden gezeigt

a) funktionswert in der Mitte des Intervalls , mal Länge des Intervalls,

b) jeweils der größere Wert der Intervallenden ergibt die Obersumme.

c) jeweils der kleinste Wert, ergibt die Untersumme

der Wert der flache liegt dann immer dazwischen (Obersumme und Untersumme=) und man kann den Fehler besser abschätzen

Alle Methoden nähern die flache unter dem Graphen an, wenn man sie verfeinerte wird die flache immer genauer. man kann sich also die Methode aussuchen. (solange sie in der aufgabe nicht vorgeschrieben ist)

Gruß lul

Answer 2

1) Wieso wurde hier bei a) beginnend bei f(x0) angefangen? Bei mir auf dem Formelblatt steht folgendes zur Riemannschen Zwischensumme:

Offensichtlic würde die linksseitige Riemannsumme gebildet. Also immer die Höhe an der linken Seite des Rechtecks abgelesen.

2) Wieso wurde hier das letzte, also x3 bzw. f(3) nicht benutzt?
Also bei a) als Lösung steht z.B. S = f(0) · 1 + f(1) · 1 + f(2) · 1

Wie bereits gesagt wurden immer nur die linken Stellen zum Ablesen der Rechteckshöhe genutzt.

3) Wieso wurde bei den "verschiedenen Zwischenstellen" (s. rechte Seite vom Bild) verschiedene "Rechtecke" benutzt, als tatsächlich bei a) die existieren? Also bei a) existiert z.B. 2 kleine und 1 großes (s. linke Seite, unter dem Graphen von a).

Hier wurde nicht die Rechteckshöhe an der Linken rechtecksseite abgelesen sondern in der Rechtecksmitte. Ebenso wurde die Obersumme und auch Untersumme gebildet, d.h. einmal wird der Maximale Funktionswert innerhalb des Rechtecks benutzt und einmal der minimale Funktionswert.