Integralrechnung uneigentliches Riemannintegral Grenzwerte des Integrals

Question

Wer kann mir bei der Lösung helfen ?
Zuerst wie bestimme ich ob in den Punkten Differenzierbarkeit herrscht.
Dann wie bestimme vom Integral die Grenzwerte.
Zuletzt den Wert des uneigentlichen Riemann-Integrals.

Comments

Als Tipp zur letzten Teilaufgabe. Das sieht mir stark nach einer trigonometrischen Substitution aus :).

Wenn ich raten müsste, würde ich sagen das Ergebnis ist 0, 1 oder π :D.

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Danke auch für deinen Beitrag :)

Answer 1

Ableitung:

Da der Integrand in ] 2 ; ∞ [  stetig ist, ist nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung F eine Stammfunktion des Integranden und damit

F '(x) = 4 / [ x² * √(x² - 4) ]

I = ∫ 4 /  [ t² * √(t² - 4) ] dt        

Substitution: u = 1/t → du/dt = -1/t² → dt = -t² du  und   t = 1/u 

I = ∫  -4 / √( 1/u² - 4)  du  = ∫ -4 / √[ (1 - 4u²) / u² ] du = ∫ -4u / √(1 - 4u²)  du

 Substitution: v = 1 - 4u² →  dv/du = -8u  → du = -1/8 ·1/u ·du

I = ∫ -4u / √v * (-1/8) ·1/u ·du = 1/2 * ∫ v^-1/2 dv = 1/2 * 2 * v^1/2 + c  =  √v + c

Rücksubstitution: I = √(1 -  4u²) + c  =  √( 1 - 4/t²)  + c  =  √[ (t² - 4) / t² ]  + c

I = √( t² - 4) / t + c

→  F(x) =  [ √( t² - 4) / t ]₃^x  = √(x² - 4) / x - √5 / 3

lim_x→2 F(x) = -√5 / 2  ,   lim_x→∞ F(x) = 1 - √5 / 3

→  ₂∫^∞ 4 /  [ t² * √(t² - 4) ] dt   = 1

Gruß Wolfgang

Comments

Joo so in der Art habe ich mir die Antwort vorgestellt.

Sehr präzise und genau wie du die ganzen Teilaufgaben gelöst hast.

Ich habe da direkt mal eine Frage zu Punkt 1 und Punkt 2.

1. Ist die Stammfunktion automatisch stetig da die Menge so gesehen keine geschlossene Menge ist oder ist sie stetig weil dort in den Punkten Differenzierbarkeit herrscht ?

2. Das mit der Substitution verstehe ich nicht so ganz, warum du da u = 1/t gewähltt hast.

Danke für deine Mühe Wolfgang :)

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Was ist mit dem t^2 im Nenner passiert während der ersten Substitution

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Das kürzt sich weg, wenn du dt durch -t² du ersetzt.

Answer 2

Alternativ (hier nur die Berechnung des Integrales ohne Grenzen)