Thema: Riemannintegral - Ober/Untersumme, wofür die weitere Definition?

Question

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Riemann-Integral#Ober-_und_Untersummen

Was ist hiermit genau gemeint(Siehe Link, habe es nicht exakt darstellen können mit meinen sehr beschränkten Latex-Skills):

$$ I_+(f,[a,b]):= \inf{O(\Delta,f)} \\ I_-(f,[a,b]) := \sup {U(\Delta,f)}   $$

Ist mit I_+ die kleinste Obersumme gemeint? Wenn ja, dann frage ich mich warum man das braucht, schließlich erscheint mir: $$ O(\Delta,f):=  \sum_{n=0}^{n-1}{}(x_{k+1}-x_k)\cdot \sup {f(x)}~,~x\in [x_k,x_{k+1}]$$ (Siehe: Link) bereits sehr genau, sogar gleich dem Integral von f, wenn die Intervallbreite gegen null geht oder? Meine Überlegungen zu I_-, also der größten Untersumme(?), sind ähnlich.

Was ist also I_+ bzw. I_- bzw. was stellt es dar? Was bringt diese Definition?

Würde mich sehr über eine Erläuterung freuen :)

Answer 1

I₊ ist das Infimum aller möglichen Obersummen, die man mit der Funktion f auf dem Intervall bilden kann,

also bei jeder noch so feinen Zerlegung. Eine "kleinste" nuss es ja nicht geben. Wenn z.B. durch alle

möglichen Obersummen immer so Werte rauskommen wie 2,01  und 2,0001  und 2,000000034  etc.

dann ist das Infimum eben die 2, wobei es nicht unbedingt eine geben muss mit der genau der Wert 2

erreicht wird.

Und I_- entsprechend das Supremum aller Untersummen.

Dagegen hängt jedes O ( Δ , f ) natürlich von der benutzten Zerlegung ab. Und mit Intervallbreite

gegen 0 stellst du dir ja vermutlich das so vor, dass alle Teilintervalle gleich breit sind. Das muss aber nicht sein,

du kannst es dir vielleicht besser so vorstellen: Selbst die Längen der größetn Teilintervalle gehen gegen 0.

Und wenn man das bei allen Zerlegungen macht und immer das gleiche Infimum erhält,

dann macht es Sinn, dass man das als das Integral definiert.

Answer 2

Hi

\( O(\Delta,f)  \)  gilt für eine bestimmte gewählte Zerlegung. \( I_+(f,[a,b]) \) und \( I_{-}(f,[a,b]) \) gilt für alle möglichen Zerlegungen des Intervalls. Denn \( \text{sub}U(\Delta,f) \) hängt ja von der gewählten Zerlegung ab.