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Aufgabe:

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Text erkannt:

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Sei \( f:[0, \infty) \rightarrow(0, \infty) \) eine stetige Funktion, deren uneigentliches R-Integral erfülle, dass
\( \int \limits_{0}^{\infty} f(x) \mathrm{d} x<\infty . \)
Dann gilt:
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x)=0 . \)


Problem/Ansatz:

Ich war erst der Meinung dass das nicht stimmt aber ich finde keine Funktion. Bewiesen bekomme ich es auich nicht recht. Wäre dankbar um einen Tipp!

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2 Antworten

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Wir definieren eine Funktion \(h:[0,\infty) \to [0,\infty)\) mit der Eigenschaft, dass der Graph durch die "Dreiecke" durch die Punkte

$$(n-1/n^3,0), \; (n,n), \;(n+1/n^3,0), \quad n \in \N, \quad n>1(korrigiert)$$

und ansonsten durch \(h(x):=0\) definiert wird.

Damit definieren wir dann \(f(x):=h(x)+\exp(-x)\)

Avatar von 14 k

........................................ gelöscht

Hallo

a)ich sehe nicht a) wie die Funktion stetig ist, b wie sie für x->oo gegen 0 konvergiert, wenn für n->oo f(n)=n

lul

wenn f(x)->0 falsch ist gilt f(x)>a>0 für x>x0

das Integral von x0 bis G  ist dann >a*(G-x0)  und für G->oo nicht endlich.

lul

Die Funktion h ist stückweise über Geraden definiert. An den Nahtstellen sind die Funktionswerte jeweils 0, also ist der Übergang stetig.

Die Funktion h geht nicht gegen 0, es handelt sich um ein Gegenbeispiel zur Aussage.

wenn f(x)->0 falsch ist gilt f(x)>a>0 für x>x0

Nein, die Konvergenz gegen 0 kann auch dadurch scheitern, dass f "unentschlossen rumeiert". Das ergibt sich auch, wenn man die formale Konvergenz-Definition negiert.

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Hallo

nimm einen Wiederspruchsbeweis also |f(x)|>=a für x>x_0

dann schätze das Integral von x0 bis oo ab

lul

Avatar von 108 k 🚀

bis wohin "x0 bis oo"? und ist das jetzt wahr oder falsch. das würde mir schon immens helfen

Die Aussage der Aufgabe ist falsch.

Der Ansatz von lul ist falsch, weil dort nicht das "Gegenteil" der Behauptung angesetzt wird.

KORREKTUR

Ich hatte überlesen, dass f in die positiven reellen Zahlen abbildet. Mein Gegenbeispiel wäre für \(f:[0,\infty) \to [0, \infty)\) gewesen. So ist es etwas komplizierter.

Wahrscheinlich klappt dein Beispiel (meins tut es jedenfalls), wenn du e-x zu deiner Funktion addierst

Jau, das wollte ich gerade schreiben.

Willst Du nicht die Antwort schreiben und die Punkte für Dich verbuchen?

Wegen  und ist das jetzt wahr oder falsch. das würde mir schon immens helfen solltest auch du an dieser Stelle erst mal Schluss machen.

Vielen dank :)

Was war denn dein Gegenbeispiel Mathehilf?

Also wenn ich mich nicht verrechnet habe komme ich auf $$ \frac{sinx}{x}+e^{-x}$$ ah ne ich habe mich vertan

Ne irgendwie finde ich sie nicht. :( irgendwas muss ich übersehen

Ich wäre dankbar wenn nochmal jemand helfen kann

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