Aufgabe:
(a) Es seien \( a, c, d \in \mathbb{R} \) mit \( c<d \) und \( f \in C^{0}([a, \infty) \times[c, d]) \). Ferner gebe es eine uneigentlich Riemman-integrierbare Funktion \( g:[a, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( |f(x, y)| \leq g(x) \) für alle \( x \in[a, \infty) \) und \( y \in[c, d] \). Zeigen Sie
\( \int \limits_{a}^{\infty} \int \limits_{c}^{d} f(x, y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} x=\int \limits_{c}^{d} \int \limits_{a}^{\infty} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \)
(Argumentieren Sie dabei insbesondere, warum die uneigentlichen Integrale existieren.)
(b) Zeigen Sie
\( \int \limits_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-x} \frac{\sin ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\ln 5}{4} \)
Hinweis: Integrieren Sie \( \mathrm{e}^{-x} \sin (2 x y) \) über \( [0, \infty) \times[0,1] \).
