Zeigen Sie, dass folgende Funktion (linear) und stetig ist und bestimmen Sie ||T||op

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass
\( T:\left(C ^ { 0 } ( [ 0 , 1 ] , \| \cdot \| _ { C ^ { 0 } } ) \rightarrow \left(C^{0}\left([0,1],\|\cdot\|_{C^{0}}\right), u \mapsto T(u) \operatorname{mit}(T u)(x)=\int \limits_{0}^{x} u(t) \mathrm{d} t \text { für } x \in[0,1]\right.\right. \)
(linear und) stetig ist und bestimmen Sie \( \|T\|_{\text {op }} \)

Answer 1

Für lineare Operatoren gibt gibt es ein äquivalentes Kriterium für die Stetigkeit ...
\(\begin{aligned}   \left\| T( u) \right\| _{ C^{ 0}}   = \sup_{ x \in [ 0, 1] } \left| \int_{ 0}^{ x} u( t) \, dt \right|   \leqslant \sup_{ x \in [ 0, 1] } \int_{ 0}^{ x} \left| u( t) \right| \, dt   \leqslant \sup_{ t \in [ 0, 1] } \left| u( t) \right| = \left\| u\right\| _{ C^{ 0}} .\end{aligned}\)

Für die Operatornorm einfach die Definition einsetzen.