Uneigentliches Integral bestimmen/untersuchen.

Question

Hallo Leute!

Ich soll hier das uneigentliche Integral bestimmen, aber in der Lösung steht, dass das Integral nicht definiert ist. Meine Frage ist nun: Wie erkenne ich, dass es definiert bzw. nicht definiert ist? Ich habe eine Lösung rausbekommen, die mir nicht richtig erscheint, aber immer hin bin ich auf ein Wert gekommen. Deswegen kann ich mir nicht erklären, warum das Integral nicht definiert ist.

Aufgabe:

Bestimme, falls möglich, den Wert des Integrals \( \int \limits_{1}^{3} \frac{1}{x^{2}-x-2} d x \).

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Du kannst nicht über die Nullstellen des Nenners$$x^2-x-2=(x+1)(x-2)$$hinweg integrieren. Bei \(x=2\) ist der Integrand nicht definiert.

Du bekommst ein Integral raus, weil es eine Stammfunktion für den Integranden gibt. Die ist aber nur anwendbar, wenn das Integrationsintevall nicht über \((-1)\) oder \(2\) hinausläuft.

Comments

Erstmal vielen Dank für deine Erklärung. Aber was genau meinst du mit hinauslaufen? Dass bspw. die untere Grenze 1 über -1 hinausläuft und 2 ebenso? Und dass beispielsweise die obere Grenze 3 auch über 2 hinausläuft?

Und der Integrand ist bei x= -1 auch nicht definiert, richtig?

---

Genau, aber da das Integrationsintervall von \(1\) bis \(3\) gehen soll, ist hier die Definitionslücke bei \(x=2\) das Problem.

---

Achso und die Nullstelle -1 stell hier kein Problem dar, da sie sowieso nicht im Integrationsintervall 1 bis 3 enthalten ist?

---

Gena, Definitionslücken außerhalb des Integrationsintervalls spielen hier keine Rolle.

---

Achso, alles klar, danke dir!

---

Tschakabumba, ich hätte zu dieser Aufgabe noch eine Frage. Ich rechne die Aufgabe erneut durch und es sind doch ein paar Fragen im Nachhinein aufgetaucht.

Was genau meintest du mit

 "Du bekommst ein Integral raus, weil es eine Stammfunktion für den Integranden gibt. Die ist aber nur anwendbar, wenn das Integrationsintevall nicht über \((-1)\) oder \(2\) hinausläuft."

I

---

Wenn der Integrand an Stellen innerhalb des Integrationsintervalls nicht definiert ist, kann das zu Problemen führen. Du musst dann eigentlich das Integral an der Definitionslücke aufspalten:$$\int\limits_1^3\frac{1}{x^2-x-2}\,dx=\int\limits_1^2\frac{1}{(x+1)(x-2)}\,dx+\int\limits_2^3\frac{1}{(x+1)(x-2)}\,dx$$Dann musst du zeigen, dass beide Grenzwerte existieren:$$\lim\limits_{g\nearrow2}\int\limits_1^g\frac{1}{(x+1)(x-2)}\,dx+\lim\limits_{g\searrow2}\int\limits_g^3\frac{1}{(x+1)(x-2)}\,dx$$existieren und kannst sie dann addieren.

---

Achso, verstehe. Und wie soll ich hier integrieren? Soll ich bspw. x+1 substituieren?

---

Ich würde eine Partialbruchzerlegung durchführen:$$\phantom=\int\frac{1}{(x+1)(x-2)}dx=\int\left(\frac{1}{3(x-2)}-\frac{1}{3(x+1)}\right)dx$$$$=\frac13\ln|x-2|-\frac13\ln|x+1|+\text{const}$$Jetzt siehst du, dass der Grenzwert für \(x\to2\) nicht existiert, sodass das Integral nicht definiert ist.