Aloha :)
Die Abbildung \(f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^2\) hat als Input einen Vektor mit Koordinaten bezüglich der kanonischen Standardbasis \(E3\) des \(\mathbb R^3\) und als Output einen Vektor bezüglich der kanonischen Standardbasis \(E2\) des \(\mathbb R^2\). Daher können wir die Darstellungsmatrix \({_{E2}}M_{E3}\) angeben:$$\small\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\mapsto\binom{4x_1+x_2-2x_3}{-x_2+x_3}=x_1\binom{4}{0}+x_2\binom{1}{-1}+x_3\binom{-2}{1}=\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}4 & 1 & -2\\0 & -1 & 1\end{array}\right)}_{{_{E2}}M_{E3}}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$
Die Koordinaten der Basisvektoren von \(B1\) und \(B2\) sind ebenfalls bezüglich der jeweiligen kanonischen Standardbasis angegeben, daher kennen wir die Transformationsmatrizen von \(B1\) nach \(E3\) und von \(B2\) nach \(E2\):$${_{E3}}\mathbf{id}_{B1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2\\0 & -1 & 1\\1 & 0 & 0\end{array}\right)\quad;\quad {_{E2}}\mathbf{id}_{B2}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1\\1 & -1\end{array}\right)$$
Damit können wir die gesuchte Darstellungsmatrix \({_{B2}}M_{B1}\) mit Input-Vektoren bezüglich \(B1\) und Output-Vektoren bezüglich \(B2\) bestimmen:$${_{B2}}\mathbf{id}_{B1}={_{B2}}\mathbf{id}_{E2}\cdot{_{E2}}M_{E3}\cdot{_{E3}}\mathbf{id}_{B1}=\left({_{E2}}\mathbf{id}_{B2}\right)^{-1}\cdot{_{E2}}M_{E3}\cdot{_{E3}}\mathbf{id}_{B1}$$$$\phantom{{_{B2}}\mathbf{id}_{B1}}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1\\1 & -1\end{array}\right)^{-1}\cdot\left(\begin{array}{rrr}4 & 1 & -2\\0 & -1 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2\\0 & -1 & 1\\1 & 0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}\frac32 & 0 & 4\\[0.5ex]\frac12 & -1 & 5\end{array}\right)$$
