Wie kann ich hier die partikuläre Lösung bestimmen?

Question

Aufgabe: Wie kann ich hier die partikuläre Lösung bestimmen?

Text erkannt:

\( y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=4 e^{2 x}+2 \sin (2 x)-4 \cos (2 x) \)

Problem/Ansatz:

Muss ich die partikuläre Lösung einzeln für alle 3 bestimmen?

Answer 1

Hallo

Nein, für e^2x und den Rest. Aber das ginge schneller einfach auszuprobieren statt auf ne Antwort zu warten.

lul

Comments

Die Testfunktion wäre dann Ae^2x+Bcos(2x)+Csin(2x) ?

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Warum probierst Du es nicht schnell eben aus?

Answer 2

Hallo,

homogene Gleichung: y''-4y'+4y=0

Charakt. Gleichung: \( \lambda^{2}-4 \lambda+4=0 \)

 \( (\lambda-2)^{2}=0 \)

\( \boldsymbol{\lambda}_{1,2}=2 \)

 \( yh(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x)=C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{2 x} x \)

Die Bestimmung der part. Lösung erfolgt summandweise:

einmal für 4 e^(2x) --->y_p1=x^2 *A *e^(2x) (doppelte Resonanz)

und

einmal für: 2 sin(2x) -4 cos(2x) --->y_p2= B sin(2x) +C cos(2x)

insgesamt

yp=yp₁+yp₂

_{Du mußt aber die part. Lösung in Zusammenhang mit der homogen Lösung wegen Resonanz betrachten.}

_{Ein Link für den Ansatz der part. Lösung:}

_{http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf}

für  4 e^(2x) wegen Resonanz: 2. Blatt, Punkt 2, 2.Zeile (Fall b e^(α x)

_Lösung:

\( y(x)=C_{2} e^{2 x} x+C_{1} e^{2 x}+2 e^{2 x} x^{2}+\frac{1}{2} \sin (2 x)+\frac{1}{4} \cos (2 x) \)