LGS lösen | Singulärwertzerlegung

Question

Aufgabe:

Moin,

Ich habe eine Matrix A durch eine Singulärwertzerlegung gegeben und den Vektor b.

Nun soll ich Ax=b lösen.
Klar, ich könnte nun die drei Matrizen der Singulärwertzerlegung multiplizieren und dann ganz normal das Lgs lösen, dass ist ja aber nicht Sinn der Sache....

Vielleicht habt ihr einen Ansatz?

Comments

hallo

du kannst leichter die inverse Matrix finden  mit A = U S V ^T gilt A^-1=US⁻¹V^T

falls also S^-1 besonders einfach  ist das schneller als das LGS lösen

lul

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mit A = U S V ^T gilt A^-1=US⁻¹V^T

Warum sollte das so sein?

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A braucht nicht invertierbar sein. Und wenn, sehe ich nicht, wieso das die Inverse sein sollte.

Da es verschiedene Varianten von SWZ gibt, sollte Study vielleicht seine Variante hierhin schreiben

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Ist die Variante A = U S V^T

Answer 1

Ich gehe mal von Folgendem aus: A ist m-n-Matrix, U:m-m,S:m-n,V:n-n. Und V orthonormal. Dann ist

$$Ax=y \iff ASV^Tx=y \iff SV^Tx=U^Ty$$

Jetzt muss man das Gleichungssystem $Sw=U^Ty$ untersuchen / lösen. Das hängt davon ob, wie der Rang von A ist, also wieviele Diagonal-Elemente von S ungleich 0 sind. Wenn es Lösungen gibt, dann ist jeweils $x=Vw$