Folge nach oben abschätzen

Question

Aufgabe:

Hallo,

könnte man die Konvergenz von n/(n+1) wie folgt zeigen:

Soll vor alle n>n0 gelten

Vermute zuerst dass Grenzwert 1 ist und setzte mit EPSILON-no-Verfahren fort:

| n/(n+1) - 1 | < E

<=>  1/(n+1) < E

Wobei:

1/(n+1) < 1/n

Wenn 1/n < E dann auch 1/(n+1) < E

<=> 1/n < E <=>   n0=1/E

Verstehe jetzt warum dass falsch sein soll, da mein Tutor anders vorgegangen ist.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand dabei helfen?

Comments

Wie dort vorgegangen wurde, ist korrekt. Allerdings ist anzumerken. Wenn man den Beweis aufschreibt, geht man rückwärts vor also legt dann das n0 fest auf Grundlage deiner Berechnung.

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Danke. Eine Frage, wie kann man sicher gehen, dass das Ergebnis richtig ist? z.b n0 einsetzten in

die explizite Form?

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Naja du könntest es in deinen Betrag einsetzt und schauen, ob es echt kleiner epsilon ist.

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alles klar gut verstehe.

Answer 1

Aloha :)

Wir untersuchen die angegebene Folge auf Konvergenz:$$a_n=\frac{n}{n+1}=\frac{n\pink{+1-1}}{n+1}=\frac{n\pink{+1}}{n+1}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$$

Der vermutete Grenzwert ist \(a=1\).

Um den Grenzwert zu zeigen, schätzen wir den folgenden Term nach oben ab:$$\left|a_n-1\right|=\left|\left(1-\frac{1}{n+1}\right)-1\right|=\left|-\frac{1}{n+1}\right|=\frac{1}{n+1}<\frac1n$$Wählen wir nun ein \(\varepsilon>0\) beliebig aber fest aus, so gilt für alle \(n\ge\frac1\varepsilon\) bzw. \(\frac1n\le\varepsilon\)$$|a_n-1|<\frac1n\le\varepsilon$$

Für alle \(\varepsilon>0\) gibt es also ein \(n_0\coloneqq\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil\), sodass für alle \(n\in\mathbb N^{\ge n_0}\) gilt: \(\left|a_n-1\right|<\varepsilon\).

Daher ist \(a=1\) per Definition der Grenzwert der Folge \((a_n)\).