Aufgabe:
Die Höhe einer wachsenden Pflanze wird beschrieben durch:
h(t)= -1/20(25+16t)e^(-0,64t)+1,4 t>=0
Die Höhenzuwachsrate ist g(t)= 0,512×t×e^(-0,64t)
4. Untersuchen Sie nach geeigneter Kurvendiskussion die Höhenwachstumsrate anhand folgender Kriterien:
- für welchen Zeitpunkt ist die Höhenzuwachsrate extremal?
-Handelt es sich um ein Maximum oder ein Minimum?
-Wie hoch ist die extremale Höhenwachstumsrate? Welche absolute Höhe hat die Pflanze zu diesem Zeitpunkt?
Antworten Sie in einem vollständigen Satz unter Verwendung der passenden Einheiten
Problem/Ansatz:
Kann das sein, dass man hier die Ableitungen von der Höhenzuwachsrate verwenden muss, statt wie ich im Bild unten von h(t), oder ist das so richtig?
Aufgabe 4
\( \begin{aligned} h^{\prime}(t) & =0,512 \cdot t \cdot e^{-0,64 t} \\ h^{\prime \prime}(t) & =0,512 \cdot e^{-0,46 t}+0,512 t+\left(-0,64 e^{-0,64 t}\right) \\ & =e^{-0,64 t}(0,512 \cdot 0,512 t \cdot(-0,641) \\ & =e^{-0,64 t}(0,512-0,32768 t) \end{aligned} \)
\( \begin{array}{l} h^{\prime \prime}(t)=0 \quad \frac{e^{-0,44 t}}{00}(0,512-0,32768 t)=0 \quad 1-0,512 \\ -0,32768 t=-0,512 \quad 1+(-0,32768) \\ t=1,5625 \approx A, 6 \text { Monate } \\ \end{array} \)
Höhe der Pflanze mu diesen Zeitpunht 1s \( \quad \underline{\underline{h}(1,5625)}=-1 / 20(25+16 \cdot 1,5625) e^{-0,64-1,5625}+1,4=0,4803013974 \)
* 0,48
\( 0,512 \cdot t \cdot e^{-0,44 t} \)
Hohe der extremalen Hohenwachstumsnate: \( h^{\prime}(4,5625)=0,512 \cdot 1,5625 \cdot e^{-0,65 \cdot d, 5625}-0,269+407993 \)
o.
\( \Rightarrow \) Die extremale Höhensachstumsrate ist \( 0,29 \mathrm{~m} \) nach 1,6 Monaten und stellt ein Maximum dar. Die absolute Wöhe der Pflanze liegt bei 0,48m.
