Kurvendiskussion einer e-Funktion

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)=−4x^2*exp(4x+4)

Führen Sie eine Kurvendiskussion durch.

a. Wie lautet die Steigung der Tangente im Punkt x=−0.98

b. Welchen Wert nimmt die Wölbung im Punkt x=0.07

c. An welcher Stelle (x-Koordinate) liegt das lokale Minimum?

d. Wie lautet der zugehörige Funktionswert des lokalen Minimums?

e. An welcher Stelle (x-Koordinate) liegt der Wendepunkt links vom lokalen Minimum?

f. An welcher Stelle (x-Koordinate) liegt der Wendepunkt rechts vom lokalen Minimum?

g. Wie lautet der zum Wendepunkt zugehörige Funktionswert links vom lokalen Minimum?

h. Wie lautet der zum Wendepunkt zugehörige Funktionswert rechts vom lokalen Minimum?

Problem/Ansatz:

Hallo ihr Lieben, habe heute diese Aufgabe bekommen und bin schon beim Ableiten überfordert..mich irritiert dieses exp in der Funktion..ich hätte als 1. Ableitung: f‘(x)= exp(4x+4) (-8x+2x^2) rausbekommen, kann das stimmen? Ich weiß zwar wie man die Tangente bekommt, also indem man den Punkt in die erste Ableitung einsetzt, aber ich weiß nicht, wie man das Ganze dann ausrechnet bzw. wie man es in den Taschenrechner eingibt..wäre sehr dankbar wenn mir das jemand erklären könnte.

Dankee im Voraus!:)

Comments

weiß zwar wie man die Tangente bekommt, also indem man den Punkt in die erste Ableitung einsetzt

Das gibt nicht die Tangente, sondern deren Steigung.

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Es wurden mittlerweile 3 gleichlautende Aufgaben
( Kurvendiskussionen ) zu e-Funktioen
gestellt.
Wie wäre es einmal eine Aufgabe zu verstehen,
Die anderen Aufgaben sind dann ähnlich.

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Ich verstehe eben nur nicht wie man eine e-funktion ableitet, sodass das exp einfach wegfällt..

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Die e-Funktion entfällt beim ableiten nicht.

[ e ^(term) ]´ = e ^term * ( term ´)
bei dir
term = e ^ (4x+4)
term ´ = 4
[ e ^(term) ]´ = e ^(term) * 4

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Aber wenn man den x-Wert dann in die Ableitung einsetzt, wie muss man das dann in den Taschenrechner eingeben?

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e ^ (4x+4)  * 4

Wie man das bei deinem Taschenrechner
eingibt weiß ich nicht.

Beispiel

x = 0.5
4 * 0.5 = 2
2 + 4 = 6

e ^ 6 = 403.4
403.4 * 4 = 1613.7

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Aber wenn man den x-Wert dann in die Ableitung einsetzt, wie muss man das dann in den Taschenrechner eingeben?

Ist es dir bekannt, dass es viele verschiedene Taschenrechnermodelle gibt?

Welches Modell wird hier vorausgesetzt und welches verwendest du?

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habe heute diese Aufgabe bekommen

Von wem?

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Ich habe einen Sharp Taschenrechner..

Von meinem Professor..

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Ich habe einen Sharp Taschenrechner

Auch von Sharp gibt es ganz viele. Wenn Du nicht weißt wie Du Deinen Taschenrechner bedienen sollst, empfehle ich die RTFM-Methode.

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Ok danke:) Wie kann man eigentlich bei einer e-Funktion die Extremstellen ausrechnen, also in diesem Fall das lokale Minimum? Normalerweise würde ich die Funktion jetzt in die Mitternachtsformel einsetzen, aber das geht bei dieser Funktion nicht oder?:)

Answer 1

Hallo,

hier die Berechnung der 1. Ableitung mit der Produktregel:

\(f(x)=\overbrace{-4x^2}^{u}\cdot \overbrace{e^{4x+4}}^v\\u'=-8x\quad v'=4e^{4x+4}\)

\( f'(x)=-8 x \cdot e^{4 x+4}-4 x^{2} \cdot 4 \cdot e^{4 x+4} \)
\( =\left(-16 x^{2}-8x\right) \cdot e^{4 x+4} \)

Melde dich, wenn du noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Comments

Dankee:) Wenn ich jetzt den Punkt x=-0.98 in die erste Ableitung einsetze, bekomme ich ja die Steigung der Tangente..ich verstehe nur nicht, wie man das jetzt mit dem e ausrechnen muss, also was muss man machen, damit das e wegfällt und ich es normal ausrechnen kann?

Danke im Voraus:)

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Das e wird nicht wegfallen. Dein Taschenrechner sollte über eine entsprechende Taste verfügen, dass du das auch ausrechnen kannst.

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Achsoo, dann ist das gar nicht so kompliziert, wie ich dachte..könnte 183,79 dann als Steigung der Tangente stimmen?:)

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Ups ich habe das Minus vergessen, muss es nochmal nachrechnen

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a) 59,61 könnte das stimmen?:)

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Das ist mir bei meiner ersten Rechnung auch passiert. :-) Ich erhalte jetzt f'(-0,98) = -8,15

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Hatte das Minus vor der 16 auch noch vergessen, jetzt hab ich das Gleiche rausbekommen:)

Wenn man jetzt die Wölbung berechnen möchte, braucht es die 2. Ableitung oder? Muss man dazu wieder die Kettenregel anwenden?:)

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2. Ableitung ist richtig. Ich habe dazu wieder die Produktregel angewandt:

\( \begin{aligned} f^{\prime}(x)=& \overbrace{\left(-16 x^{2}-8 x\right)}^{u} \cdot \overbrace{e^{4 x+4}}^{v} \\ & u^{\prime}=-32 x-8 \quad v^{\prime}=4 e^{4 x+4} \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} f^{\prime \prime}(x) &=(-32 x-8) \cdot e^{4 x+4}+\left(-16 x^{2}-8 x\right) \cdot 4 e^{4 x+4} \\ &=\left(-32 x-8-64 x^{2}-32 x\right) \cdot e^{4 x+4} \\ &=\left(-64 x^{2}-64 x-8\right) \cdot e^{4 x+4} \end{aligned} \)

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Dankeee, dann versuche ich mal den Rest zu lösen:)

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Wenn ich das so in den Taschenrechner eingebe, ist das dann richtig? Mein Ergebnis ist nämlich etwas komisch..

b) (-64*(0,07)^2 - 64*(-0.98)) * Exp4*0,07+4

Sy bin leider etwas ungeschickt, was Taschenrechner angeht:-D

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Du hast die 8 vergessen und -0,98 statt 0,07 in der Mitte eingegeben

Bei mir sieht das so aus:

\((-64\cdot0,07^2-64\cdot 0,07-8)\cdot e^{4*0,07+4}=-924,22\)

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Ach ich bin heute so verwirrt..dankee Silvia für deine Hilfe!!:)

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Für die Extremstellen wendest du den Satz vom Nullprodukt an. Ein Produkt ist dann null, wenn einer der Faktoren null ist.

e hoch irgendwas kann niemals null werden, also konzentrierst du dich auf den Faktor

\(-16x^2-8x\). Hier brauchst du nur x ausklammern (1. Extremstelle also bei x = 0) und dann -16x -8 = 0 nach x auflösen.

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Dankeee Silvia für deine Geduld, hab’s jetzt endlich rausbekommen!

Ganz liebe Grüße:)

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Nichts zu danken. Das mache ich besonders gerne, wenn ich merke, dass mein "Gegenüber" sich auch mit den Antworten auseinandersetzt.

Answer 2

Ich würde das mit der Produktregel ableiten, den zweiten Faktor mit der Kettenregel.

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Dankee! Dann probier ich das schnell:)