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Wenn die Determinante einer Matrix ungleich Null ist, hat der Bildraum dieselbe Dimension wie der Quellraum. Das heißt die Abbildung ist umkehrbar, sodass die inverse Matrix \(A^{-1}\) existiert.
Wegen des Determinantenmultiplikationssatzes ist \(\operatorname{det}(A^3)=\operatorname{det(A)}^3=3\), sodass \(\operatorname{det}(A)=\sqrt[3]{3}\ne0\) ist, also existiert \(A^{-1}\) und wir können rechnen:
$$A\cdot\vec x\stackrel!=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}\implies \vec x=A^{-1}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}$$Es gibt also einen Vektor \(\vec x\) aus dem Quellraum, der auf \((3;3;3)^T\) abgebildet wird.
