Bild mit Aussage über Determinanten bestimmen?

Question

Aufgabe: Gilt für A ∈ R³×3, dass det(A³) = 3, dann liegt der Vektor (3 3 3) im Bild von x |→ A · x. (|-> steht für "wird geschickt auf")

Mir leuchtet das nicht ganz ein und einen Ansatz dafür, warum das gelten soll, habe ich auch nicht wirklich.

Ich bin jedem für seine Antwort dankbar

Answer 1

Wegen $\det(A)^3=\det(A^3)=3\neq 0$ folgt,

dass $\det(A)\neq 0$, $A$ also invertierbar ist.

Daher ist $x=A^{-1}\cdot (3,3,3)^T$ ein Urbild:

$A\cdot x=(3,3,3)^T$

Comments

Bei deinem Erklärung spielen ja der Vektor und der Wert der Determinante gar keine Rolle, außer das det(A) nicht 0 ist.

Gilt das dann für alle Vektoren aus R^(3×3) mit blbg. Determinante ungleich 0?

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Gilt das dann für alle Vektoren aus R^(3×3) mit blbg. Determinante ungleich 0?

Ja.

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Verstehe, ich danke euch für die Antworten

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wenn die Determinante einer Matrix ungleich Null ist, hat der Bildraum dieselbe Dimension wie der Quellraum. Das heißt die Abbildung ist umkehrbar, sodass die inverse Matrix $A^{-1}$ existiert.

Wegen des Determinantenmultiplikationssatzes ist $\operatorname{det}(A^3)=\operatorname{det(A)}^3=3$, sodass $\operatorname{det}(A)=\sqrt[3]{3}\ne0$ ist, also existiert $A^{-1}$ und wir können rechnen:

$$A\cdot\vec x\stackrel!=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}\implies \vec x=A^{-1}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}$$Es gibt also einen Vektor $\vec x$ aus dem Quellraum, der auf $(3;3;3)^T$ abgebildet wird.

Comments

Gut, habe es verstanden, ich danke dir für die Antwort, Tschakabumba