Teilverhältnisse in einem Spat bestimmen

Question

Aufgabe:

Im Spat ABCDEFGH sei M der Mittelpunkt der Strecke EH und K der Mittelpunkt der Raumdiagonalen AG. Punkt L sei der Schnittpunkt der Verlängerung von MK mit der Ebene BCGF.

a) Weisen Sie rechnerisch nach, dass L der Mittelpunkt der Strecke \( \overline{\mathrm{BC}} \) ist.

b) In welchem Verhältnis teilt K die Strecke \( \overline{\mathrm{ML}} \)?

Ich komme irgendwie nicht weiter. Es geht um Teilverhältnisse und bei a) komme ich auf 0=Vektor a*(alpha+beta-1) was ja falsch ist weil für 1=alpha+beta nicht bewiesen ist, dass L der Mittelpunkt ist. Bei b) bin ich ebenfalls auf kein Ergebnis gekommen. Kann mir jemand die Aufgaben a) und b) schrittweise ggf. mit Erläuterungen lösen?

Answer 1

Wenn L Mittelpunkt von BC ist, muss gelten:

$$ \vec {L} = \vec {A} + \vec {a} + 1/2 * \vec {b} $$

Das muss man also zeigen:

Dazu stellst du zuerst eine Geradengleichung für die Gerade durch M,K und L auf:

$$ \vec {M} = \vec {A} + \vec {c} + 1/2 * \vec {b} $$

$$ \vec {K} = \vec {A} +  1/2 * \vec {AG} $$

$$ \vec {G} = \vec {A} + \vec {a} + \vec {b} + \vec{c}$$

$$ \vec {AG} = \vec {a} + \vec {b} + \vec{c}$$

$$ \vec {K} = \vec {A} +  1/2 * (\vec {a} + \vec {b} + \vec{c})$$

$$ \vec {MK} = 1/2 * (\vec {a} - \vec{c})$$

$$ g(MK): \vec {x} = \vec {M} + λ * \vec {MK} = \vec {A} + \vec {c} + 1/2 * \vec {b} + λ/2 * (\vec {a} - \vec{c}) $$

Danach stellst du eine Geradengleichung für die Gerade mit B,C und L auf:

$$ \vec {B} = \vec {A} + \vec {a} $$

$$ \vec {C} = \vec {A} +  \vec {a} +  \vec {b} $$

$$ \vec {BC} =  \vec{b}$$

$$ g(BC): \vec {x} = \vec {B} + μ * \vec {BC} = \vec {A} + \vec {a} + μ * \vec{b}$$

Jetzt setzt du die beiden gleich, um den Schnittpunkt L herauszubekommen:

$$ g(MK) = g(BC) $$

$$ \vec {A} + \vec {c} + 1/2 * \vec {b} + λ/2 * (\vec {a} - \vec{c}) = \vec {A} + \vec {a} + μ * \vec{b}$$

$$ (1-λ/2) * \vec {c} + 1/2 * \vec {b} + λ/2 * \vec {a} = \vec {a} + μ * \vec{b} $$

Koeffizientenvergleich ergibt:

$$ \vec {b}:  1/2 = μ $$

$$ \vec {a}:    λ/2 = 1 $$

$$ \vec {c}:  1-λ/2 = 0 $$

Es ergeben sich also λ = 2 und μ = 1/2.

µ in die Gerade g(BC) eingesetzt, ergibt:

$$\vec {L} = \vec {A} + \vec {a} + 1/2 * \vec{b}$$

Das ist genau die Vorschrift, die wir oben für L ermittelt haben.

Damit ist die Behauptung bewiesen.


L liegt auch auf der Gerade g(MK) mit λ = 2. Das heißt, dass an M der Vektor MK zweimal angefügt werden muss, um zu L zu kommen und nur einmal, um zu K zu kommen. Daraus folgt, dass K die Strecke ML halbiert.

Answer 2

a)

Der Punkt A liege im Ursprung des Koordinatensystems, habe also die Koordinaten $$A=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$Dann haben M bzw. K die Koordinaten:$$M=\begin{pmatrix} 0 \\ \frac { 1 }{ 2 }  \\ 1 \end{pmatrix}\quad bzw.\quad K=\begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 2 }  \end{pmatrix}$$und der Mittelpunkt N der Strecke BC hat die Koordinaten:$$N=\begin{pmatrix} 1 \\ \frac { 1 }{ 2 }  \\ 0 \end{pmatrix}$$Zu zeigen ist nun, dass die Gerade g, die durch M und K läuft, auch durch den Punkt N läuft, der dann, weil er in der Ebene BCGF liegt, auch der Schnittpunkt dieser Geraden g mit dieser Ebene BCGF ist, und der daher gleich dem Punkt L ist, der als eben dieser Schnittpunkt definiert ist.
Die Gleichung der Geraden g lautet:$$g:x=M+r(K-M)$$und es ist also zu zeigen:$$\exists r\in R:M+r(K-M)=N=L$$Beweis:$$M+r(K-M)=N$$$$\Leftrightarrow\begin{pmatrix} 0 \\ \frac { 1 }{ 2 }  \\ 1 \end{pmatrix}+r\left[ \begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 2 }  \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ \frac { 1 }{ 2 }  \\ 1 \end{pmatrix} \right]=\begin{pmatrix} 0 \\ \frac { 1 }{ 2 }  \\ 1 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 2 }  \\ 0 \\ -\frac { 1 }{ 2 }  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ \frac { 1 }{ 2 }  \\ 0 \end{pmatrix}$$$$\Leftrightarrow r=2$$Es existiert also ein solches r und damit ist die Behauptung bewiesen.

b)

$$\frac { MK }{ ML } =x$$$$\Leftrightarrow MK=xML$$$$\Leftrightarrow (K-M)=x(L-M)$$$$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 2 }  \\ \frac { 1 }{ 2 }  \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ \frac { 1 }{ 2 }  \\ 1 \end{pmatrix}=x\left( \begin{pmatrix} 1 \\ \frac { 1 }{ 2 }  \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ \frac { 1 }{ 2 }  \\ 1 \end{pmatrix} \right)$$$$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 2 }  \\ 0 \\ -\frac { 1 }{ 2 }  \end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$$$\Leftrightarrow x=\frac { 1 }{ 2 }$$$$\Rightarrow \frac { MK }{ ML } =x=\frac { 1 }{ 2 }$$Also: K teilt die Strecke ML im Verhältnis 1 : 2