Begründen Sie, warum die Zufallsvariable binomialverteilt ist.

Question

Aufgabe:

In einem Betrieb werden bei einer Produktion die Werkstücke einer täglichen Qualitätskontrolle unterzogen. Aufgrund der Erfahrungen des Betriebes rechnet man mit einer Fehlerquote von \( 25 \% \). Es liegt eine Stichprobe von 300 Werkstücken vor. Die Zufallsvariable \( X \) gibt dabei die Anzahl der defekten Werkstacke aus dieser Stichprobe an.

a) Begründen Sie, warum die Zufallsvariable binomialverteilt ist.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für
ba) genau 70 fehlerhafte Werkstücke
bb) höchstens 80 fehlerhafte Werkstücke
bc) mindestens 60 fehlerhafte Werkstücke
bd) mehr als 70 und höchstens 80 fehlerhafte Werkstücke
be) höchstens 225 fehlerfreie Werkstücke

Problem/Ansatz:

Ich verstehe diese Aufgabe aber ich weiß nicht wie ich sie berechnen soll würde mich deshalb über eine hilfe sehr freuen

Comments

warum die Zufallsvariable binomialverteilt ist.

Die Werkstücke "haben kein Gedächtnis" d.h. ob fehlerhaft ist unabhängig von der Fehlerhaftigkeit der anderen geprüften Werkstücke.

weiß nicht wie ich sie berechnen soll

Im Titel steht es ja schon: Du sollst es mit der Binomialverteilung berechnen.

Answer 1

bd)

\(\displaystyle p = \sum\limits_{k=71}^{80}{\binom{300}{k} \cdot 0,25^k \cdot (1-0,25)^{300-k}} \)

Answer 2

Was ist nun wirklich deine Frage? Beim Titel ist nichts zu berechnen.

Und die Anzahl der fehlerhaften Teile in der Stichprobe ist binomialverteilt.

Bei ba musst du \( \begin{pmatrix}300\\70 \end{pmatrix}\cdot 0,25^{70}\cdot 0.75^{230} \) berechnen. Bei den übrigen Teilaufgaben musst du mehrere Terme dieser Art addieren.

Answer 3

Du hast ja bereits eine hilfreiche Antwort bekommen.

Wenn du trotzdem Schwierigkeiten hast den Binomialkoeffizienten mit dem Taschenrechner auszurechnen wie angegeben, dann kannst du dich gerne nochmal melden.

Mit n = 300 ist es angebracht, die eingebaute Binomialverteilung des Taschenrechners zu nutzen oder die Binomialverteilung über die Normalverteilung zu nähern.

Answer 4

a) Ziehen mit Zurücklegen, die WKT bleibt konstant bei jedem Zug.

ba) P(X=70) = (300über70)*0,25^70*0,75^230

bb)  P(X<=80) = P(X=0) +P(X=1)+...+P(X=80)

Hier ein Tool, das dir die aufwändige Arbeit abnimmt.

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

Vlt. hast due einen geeigneten TR oder Tabellenwerk.

bc) P(X>=60) = 1-P(X<=59)

bd) P(70<X<=80) = P(X<=80)-P(X<=70)

be) P(X<=225) = 1-P(226<X<=300)