Ab wann ist eine Zufallsvariable nur ANGENÄHERT binomialverteilt?

Question

Liebe Lounge,

mir sind die Kriterien, die für eine Bernoulli-Kette erfüllt sein müssen sehr bewusst.

So muss es genau zwei Versuchsausgänge geben, die einzelnen Versuche dürfen sich gegenseitig nicht beeinflussen und die Erfolgswahrscheinlichkeit muss bei jedem der Versuche identisch sein (was aber ja sowieso erfüllt ist, wenn die Unabhängigkeit garantiert ist; verbessert mich bitte, falls ich damit falsch liege).

Ich beschreibe nun zwei typische Aufgaben, bei welchen man sowohl als binomialverteilt als auch von „annähernd binomialverteilt“ sprechen könnte (aus meiner Sicht).

1. 42 % der deutschen Bevölkerung hat Blutgruppe A.

-> Wenn ich nun z.B. 10 Personen auswähle, die ich ja nicht wieder in die Grundgesamtheit zurückschicke, dann verändert sich strenggenommen mit jedem Zug die Erfolgswahrscheinlichkeit ganz minimal. Die Änderung befindet sich aber so viele Stellen hinter dem Komma, dass sie für normale Berechnungen keine Auswirkungen hat. Strenggenommen ist diese Kette also annähernd binomialverteilt, da Ziehen OHNE Zurücklegen. Da man die Veränderung bei der Entnahme einer kleinen Stichprobe nicht merkt kann man auch von binomialverteilt sprechen.

2. Eine Maschine produziert erfahrungsgemäß 2 Prozent Ausschuss.

Es werden aus der laufenden Produktion 10 Teile entnommen.

Für diese Bernoulli-Kette gilt jetzt (aus meiner Sicht) eine ähnliche Argumentation wie oben.

Da die Angabe 2 Prozent erfahrungsgemäß gewonnen wurde, gehe ich davon aus, dass diese durch eine relative Häufigkeit entstanden ist.

Ähnlich dem Modell eines Reißnagels, den man etliche Male wirft, um nach dem Gesetz der großen Zahlen eine Wahrscheinlichkeit angeben zu können, welche der innewohnenden Wahrscheinlichkeit hinreichend nahe kommt.

Wenn man nun den Nagel weitere Male wirft, (und die gewonnene Wahrscheinlichkeit bereits nutzt, um Vorhersagen zu treffen) verändert sich theoretisch die relative Häufigkeit ebenfalls ganz minimal mit jedem Wurf, denn es kommen ja Treffer und Nieten dazu, ebenso wie sich die Gesamtanzahl der Würfe erhöht. Da diese Änderung so gering ist, vernachlässigen wir sie.

Genauso würde ich jetzt auch bei der Maschine argumentieren.

Durch jedes entnommene Teile, könnte man auch die bisherige relative Häufigkeit anpassen, die sich ebenfalls ganz minimal verändert. Strenggenommen also wieder annähernd binomialverteilt. Allerdings ist die Änderung gemäß des Gesetzes des großen Zahlen so gering, dass man in der Praxis einfach von binomialverteilt sprechen kann.

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr meine beiden Ideen kurz kommentieren könntet. Falls es so passt, reicht mir auch ein einfaches „passt“.

Vielen Dank und einen schönen Tag wünscht

Kombinatrix

Answer 1

Bei der Bevölkerung hast du recht. Bei der Maschine und dem Reißnagel denke ich anders. Es gibt aber auch bei der Maschine einige Mathematiker die nur von einer näherungsweisen Binomialverteilung sprechen. Warum weiß ich nicht.

Wenn die Wahrscheinlichkeit das ein einzelnes fabriziertes Teil defekt ist unabhängig voneinernder immer die gleiche Wahrscheinlichkeit p besitzt ist es in meinen Augen klar Binomialverteilt. In der Realität wird man sowas aber kaum antreffen. Wenn beim Rückruf von Lebensmitteln also ein Produkt mit Keimen kontaminiert ist, dann gilt dieses auch höchst Wahrscheinlich für weitere Produkte in dieser Produktionscharge.

Und auch wenn du einen fairen Reißnagel hast, der tatsächlich mit einer festen Wahrscheinlichkeit p immer auf dem Kopf landet ist die Anzahl der Kopfwürfe bei n Versuchen immer exakt binomialverteilt.

Es könnte höchstens sein, dass wir diese Wahrscheinlichkeit p nicht exakt kennen. Deswegen würde das Experiment allerdings noch keine andere Verteilung annehmen.

Es könnte nur passieren, dass wir aufgrund einer falschen Annahme auf ein verkehrtes Ergebnis kommen.