Vier pythagoreische Dreiecke

Question

Gesucht ist die kürzeste gemeinsame Hypotenusenlänge zu vier nicht kongruenten pythagoreischen Dreiecken (das sind Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen).

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Ich verstehe (aber noch gar) nicht, was überhaupt gemeint ist.

Skizze?

Answer 1

Eine Hypotenusenlänge von 65 sollte langen.

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1105 = 5*17*13

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1105 = 5*17*13

Danke. Die Hypotenusenlänge von 1105 kann ja selbst auch noch existieren und das in der Tat sogar mehrfach.

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              Kathete Kathete
Dreieck 1  1073      264
Dreieck 2   943       576
Dreieck 3   817       744
Dreieck 4     47      1104

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Und damit komme ich jetzt auf 65.

13 * [3, 4, 5]
5 * [5, 12, 13]
[16, 63, 65]
[33, 56, 65]

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Hättest du "primitive pythagoräische Dreiecke" geschrieben, hätten wir etwas länger gegrübelt (oder eine Maschine benutzt).

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Wen sprichst du an?

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Eine Hypotenusenlänge von 65 sollte langen. Ich habe meine Antwort oben verbessert und um eine Skizze ergänzt.

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Ah, verstehe, danke für die Skizze.

Muss man jetzt alle Tripel durchgehen, oder gibt es dafür eine rechnerische Herleitung?

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Jetzt verkrieche ich mal für einige Zeit .....

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Muss man jetzt alle Tripel durchgehen, oder gibt es dafür eine rechnerische Herleitung?

Die pythagoreischen Zahlentripel lassen sich als [m^2 - n^2 ; 2mn ; m^2 + n^2] schreiben. Die zwei mit der kürzesten Hypotenuse sind also die Tripel.[3, 4, 5] und [5, 12, 13]. Das kgV von 5 und 13 ist 65. Und zufällig ergeben sich für die Hypotenusenlänge 65 noch 2 pythagoreische Dreiecke.

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Ok, verstehe, danke!

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Hallo Roland

Leider ist noch offen, ob dieses jetzt eine gültige Lösung in deinem Sinne ist.

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Deine Lösung 65 war richtig. Wusstest du das nicht?

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Das kgV von 5 und 13 ist 65. Und zufällig ergeben sich für die Hypotenusenlänge 65 noch 2 pythagoreische Dreiecke.

Das klingt allerdings überhaupt nicht nach einer rechnerischen (systematischen) Herleitung ...

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@rumar: Deine Frage nach einer Herleitung der Antwort auf meine Frage ist berechtigt. Diese Herleitung beginnt mit der Suche nach einem Paar nicht kongruenter pythagoreischer Tripel deren Hypotenuse zweimal vorkommt und dessen Hypotenusenlänge in zwei Faktoren zerlegbar ist, die ihrerseits Hypotenusenlängen pythagoreischer Tripel sind, und da wird man bei 65=5·13 im kleinsten Falle fündig.

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Deine Lösung 65 war richtig. Wusstest du das nicht?

Du hast nicht nur Gast hj2166, sondern auch mich mit deiner Auswahl von 4 Dreiecken, welche primitive pythagoreische Dreiecke sind, verwirrt.

Denn dass die Hypotenusenlänge 1105 mehrfach vorkommen kann, hatte ich ja vorher schon erwähnt. Damit hatte ich dann auch die Antwort auf 65 korrigiert.

Answer 2

Mal auf den ersten Blick:   325

(oder geht es kleiner ?)

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Sorry, das war wohl falsch und wäre die Antwort für drei P.T. (anstatt 4).

Mit derselben Idee komme ich für 4 Dreiecke auf die Hypotenuse 5525 .

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Ergebnisse ohne Erklärung bringen wenig.

Dein Rechenweg?

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Ja, sorry, ich war etwas zu eilig.

Ich nehme an, dass die einzelnen Tripel sich aus den kleinstmöglichen pythagoräischen Tripeln ergeben müssen. Da fallen mir ein:

(3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17)

Kleinstes gemeinsames Vielfaches der 4 Hypotenusen ist dann 13·17·25 = 5525 .