Zeigen Sie, dass Us Untervektorraum von Mat(3 x 3;ℝ) ist.
US = { A ∈ Mat(3 x 3; ℝ) : S-1*A*S ist Diagonalmatrix }.
Sei also S ∈ GL(3 x 3; ℝ), d.h. S ist invertierbar.
Nun musst du zeigen : 1. US nicht leer. Klar, für die 0-Matrix O gilt
S-1*O*S = O also diagonal.
2. Abgeschlossen gegenüber +: Seien A,B ∈US .
==> S-1*A*S und S-1*B*S sind Diagonalmatrizen, also auch deren Summe
S-1*A*S + S-1*B*S
= S-1 * ( A*S + B*S) = S-1 * ( A + B)*S
also auch A+B in US .
3. Abg. bzgl. Multiplikation mit reellen Zahlen geht entsprechend.
Basis für D ist \( ( \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 &0 \\0 & 0 &0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\0 & 0 &0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 &0 \\0 & 0 &1 \end{pmatrix} ) \) also dim=3.
3) Betrachte die Abbildung f: US → D mit f(A)=S-1*A*S .