Zeigen Sie, dass Us Untervektorraum von Mat(3 x 3;ℝ) ist.

Question

Aufgabe:

Sei D = { T∈ Mat(3 x 3; ℝ) : T ist Diagonalmatrix } und für ein S ∈ GL(3 x 3; ℝ) sei

U_S = { A ∈ Mat(3 x 3; ℝ) : S^-1*A*S ist Diagonalmatrix }.

1) Zeigen Sie, dass U_s Untervektorraum von Mat(3 x 3;ℝ) ist. Folgern Sie, dass auch D ein Untervektorraum ist.

2) Geben Sie eine Basis für D an. Sie müssen ausnahmsweise nicht beweisen, dass dies eine Basis ist. Berechnen Sie dann die Dimension von D.

3) Zeigen Sie, dass U_S und D isomorph sind.

4) Zeigen Sie: Ist B ∈ GL(3;ℝ), A ∈ Mat (3 x 3; ℝ) und λ Eigenwert von A, so ist λ auch Eigenwert von B^-1 *A*B.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand die Aufgaben bitte erklären, ich versuche Sie noch zu verstehen, wobei es dabei schon scheitert.

Answer 1

Zeigen Sie, dass Us Untervektorraum von Mat(3 x 3;ℝ) ist.

U_S = { A ∈ Mat(3 x 3; ℝ) : S^-1*A*S ist Diagonalmatrix }.

Sei also S ∈ GL(3 x 3; ℝ), d.h. S ist invertierbar.

Nun musst du zeigen : 1. U_S nicht leer. Klar, für die 0-Matrix O gilt

                         S^-1*O*S = O also diagonal.

2. Abgeschlossen gegenüber +:  Seien A,B ∈U_S .

==>  S-1*A*S  und  S-1*B*S  sind Diagonalmatrizen, also auch deren Summe

             S-1*A*S +  S-1*B*S

         = S^-1 * ( A*S + B*S) =   S^-1 * ( A + B)*S

                 also auch A+B in U_S .

3. Abg. bzgl. Multiplikation mit reellen Zahlen geht entsprechend.

Basis für D ist \(  (  \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 &0 \\0 & 0 &0  \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\0 & 0 &0  \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 &0 \\0 & 0 &1  \end{pmatrix} )  \) also dim=3.

3)  Betrachte die Abbildung f: U_S → D mit f(A)=S^-1*A*S .

Answer 2

Zu 4.:

Sei \(\lambda\) Eigenwert von \(A\) und \(v\neq 0\) ein Eigenvektor

zu \(\lambda\). Zeige, dass \(w:=B^{-1}v\) ein Eigenvektor

von \(B^{-1}AB\) mit Eigenwert \(\lambda\) ist.