Sei p_{n} die n -te Primzahl. Beweisen Sie: p_{n+1} \leq p_{n}^{n}+1

Question

Aufgabe:

Sei \( p_{n} \) die \( n \)-te Primzahl. Beweisen Sie: \( p_{n+1} \leq p_{n}^{n}+1 \)

Problem/Ansatz:

Wie kann folgendes Bewiesen werden?. Habe dazu nichts im Internet gefunden und keine Ahnung, wie an diesen Beweis herangegangen werden soll!

Answer 1

Schau dir mal den Beweis an das es unendlich viele Primzahlen gibt.

Bekannt sind also die ersten n Primzahlen: p1, p2, p3, ..., pn

Sei N = p1·p2·p3·...·pn + 1 < pn^n + 1, dann hat N eine Primfaktorzerlegung und insbesondere einen Primteiler q ≤ N. Diese Primzahl q ist aber von allen Primzahlen verschieden, da N bei Division durch diese Primzahlen stets den Rest 1 besitzt.

Also ist bereits N eine obere Abschätzung für die nächste Primzahl und damit natürlich auch pn^n + 1