Aloha :)
Hier würde ich zuerst per vollständiger Induktion zeigen, dass gilt:$$\sum\limits_{k=1}^{n+1}k=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\quad\text{für }n\in\mathbb N_0$$
Verankerung bei \((n=0)\):$$\sum\limits_{k=1}^{n+1}k=\sum\limits_{k=1}^1k=1=\frac{1\cdot2}{2}=\frac{(0+1)(0+2)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\quad\checkmark$$
Induktionsschritt \((n\to n+1)\):$$\sum\limits_{k=1}^{(n+1)+1}k=\sum\limits_{k=1}^{n+2}k=\sum\limits_{k=1}^{n+1}k+(n+2)\stackrel{(\text{Ind.Vor.})}{=}\frac{(n+1)(n+2)}{2}+(n+2)$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{(n+1)+1}k}=\frac{(n+\red1)(n+2)}{2}+\frac{\green2(n+2)}{2}=\frac{(n+\red1+\green2)(n+2)}{2}=\frac{(n+2)(n+3)}{2}\quad\checkmark$$
Nun reicht es nämlich zu zeigen, dass gilt:$$\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\frac2k\right)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\quad\text{für }n\in\mathbb N$$
Verankerung bei \((n=1)\):$$\small\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\frac2k\right)=\prod\limits_{k=1}^1\left(1+\frac2k\right)=1+\frac21=3=\frac{2\cdot3}{2}=\frac{(1+1)(1+2)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\quad\checkmark$$
Induktionsschritt \((n\to n+1)\):$$\small\prod\limits_{k=1}^{n+1}\left(1+\frac2k\right)=\prod\limits_{k=1}^{n}\left(1+\frac2k\right)\cdot\left(1+\frac{2}{n+1}\right)\stackrel{(\text{Ind.Vor.})}{=}\frac{(n+1)(n+2)}{2}\cdot\frac{n+3}{n+1}=\frac{(n+2)(n+3)}{2}\quad\checkmark$$
