Zeige, dass das Ideal I=(5,x^2-4x+3) in Z[x] nicht ganz Z[x] ist.

Question

Aufgabe:

Zeige, dass das Ideal I=(5,x²-4x+3) in Z[x] nicht ganz Z[x] ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir überlegt, ein Polynom p aus Z[x] zu nehmen und zeigen, dass dies nicht geht:

Setzte p=1. angenommen es gilt 1= a5+b(x²-4x+3) mit a,b∈Z[x])

Dann habe ich versucht es irgendwie mit einem Koeffizientenvergleich aufzuschreiben, nur habe ich hierbei Probleme und weiß nicht weiter.

Kann mir hier bitte jemand helfen?

Comments

1 = a*5 + b*(x²-4x+3)

=> 0 = deg(1) = max(deg(a), deg(b)+2)

=> deg(a)=0 und b=0

Also 1=5a, aber das hat keine Lösung in ℤ, da 5 keine Einheit ist.

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Ich danke dir!!

Nur verstehe ich diesen Schritt nicht:

=> 0 = deg(1) = max(deg(a), deg(b)+2)

Der Rest ist ja klar, aber das verstehe ich nicht so ganz. (ich weiß was deg ist)

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Das ist auch in der Tat falsch. Es gilt nur

deg(f+g)≤max(deg(f),deg(g))

= gilt nur wenn die Summanden unterschiedlichen Grad haben, aber das ist ja nicht klar.

Answer 1

Dar kanonische surjektive Ringhomom. \(\mathbb{Z}[X]\rightarrow \mathbb{Z}[X]/I\)

faktorisiert über \(\mathbb{Z}[X]\rightarrow \mathbb{F}_5[X]\).

Dabei geht \(I\) über in das Ideal \((X^2-4X+3)\) in \(\mathbb{F}_5[X]\).

Wäre dies das Ideal \((1)\), so wäre \(X^2-4X+3\) eine Einheit in \(\mathbb{F}_5[X]\),

wegen \((\mathbb{F}_5[X])^*=\mathbb{F}_5^*\) also konstant, was offenbar nicht der Fall ist.

Comments

Ich danke dir für deine Hilfe:)

Ich glaube nur, dass wir das mithilfe Koeffizientenvergleich zeigen müssen. Nur ergibt das Kommentar von oben für mich keinen Sinn... Ich glaube es wurden zu viele Zwischenschritte übergangen bei denen ich noch Probleme habe

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Ich glaube es wurden zu viele Zwischenschritte übergangen bei denen ich noch Probleme habe

Ne. Das war einfach falsch... Sorry! Das Argument kann man (wohl) auch nicht retten.

Vielleicht aber so:

Wenn du eine Darstellung 1 = a*5 + b*(x²-4x+1) hast. Dann kannst du auf beiden Seiten z.B. 1 einsetzen:

1 = a(1) * 5 + b(1) * 0 = a(1) * 5

da a(1)∈ℤ geht das jedoch nicht.

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1 = a*5 + b*(x²-4x+1)

Kleiner Schreibfehler, es sollte sicher

1=a*5 + b*(x² -4x+3) heißen.

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Ja, natürlich. Danke!

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Ich danke euch, das ist klasse!!

Ich bin froh, dass auch euch als Mathematiker mal Fehler unterlaufen;)

Und ich darf einfach 1 einsetzten und dann ist es ein vollständiger Beweis, weil ich zeige für 1 geht es nicht? Dachte man muss es für alle zeigen, dass es nicht geht