Vektoren linear abhängig

Question

Aufgabe:

B:= \( \begin{pmatrix} 1\\2\\3\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\0\\4\\1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\0\\2\\x \end{pmatrix} \)

Zeigen Sie, dass B linear unabhängig ist, egal wie x gewählt wird.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz: Da das ganze als LGS überbestimmt ist, darf man eine Zeile wegstreichen und auflösen, es kommt raus r, s, t = 0. Dies lässt schließen, dass lineare Unabhängigkeit vorliegt, unabhängig von der 4 Zeile.

Ist es falsch so zu argumentieren und wie sieht es formal korrekt aus?

Comments

Streiche mal die erste Zeile und prüfe Deine Überlegungen.

Answer 1

Man betrachte den Zeilenrang der Matrix \(A\), deren Spalten
die angegebenen Vektoren sind. Da die Teilmatrix, die
nur aus den ersten 3 Zeilen besteht, den Zeilenrang 3 hat
und 3 der maximale Zeilenrang einer \(4\times 3\)-Matrix ist,
ist der Zeilenrang von \(A\) gleich 3, also auch der Spaltenrang,
d.h. die 3 Spalten von \(A\) sind linear unabhängig.