Zeigen Sie, dass für alle x, y ∈ ℝ die Ungleichung gilt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für alle \( x, y \in \mathbb{R} \) mit \( x>y>0 \) gilt
\( e^{x}(x-y)>e^{x}-e^{y}>e^{y}(x-y) \text {. } \)

Meine Loesungen:

\( \begin{aligned} \Rightarrow & e^{x}(x-y)>e^{x}-e^{y} \\ \Rightarrow & \ln \left(e^{x}\right)+\ln (x-y)>\ln \left(e^{x}\right)-\ln \left(e^{y}\right) \\ \Rightarrow & x \ln (e)+\ln (x-y)>x \ln (e)-y \ln (e) \\ \Rightarrow & x+\ln (x-y)>x-y \\ \Rightarrow & \ln (x-y)>-y \end{aligned}\)

 \( \forall x \in \mathbb{R} : ln(x) \geq 0 \) und \( (x-y)>0 \) weil \( x>y>0 \)

da wir bewiesen haben, dass \( e^{x}(x-y)>e^{x}-e^{y} \)  können wir sehen, dass er auch größer als \( e^{y}(x-y) \), da x > y

ist das richitg ?

loesung 2 :
ich habe versucht, \( e^{y}(x-y) \) auch mit \(\ln\) zu loesen aber geht nicht, ich bekomme \( x-y > y + ln(x-y) \) !! Deswegen bin ich mir nicht sicher, ob meine erste Lösung funktioniert

Answer 1

Aloha :)

Die rechte Seite ist direkt bei der ersten Umformung schon falsch, denn$$\ln(e^x-e^y)\ne\ln(e^x)-\ln(e^y)$$

Ich würde hier ausnutzen, dass \(\pink{e^x\ge1+x}\) für alle \(x\in\mathbb R\) gilt.

Wegen \(x>y\) sind im Folgenden Zähler und Nenner postiv:

$$\frac{e^x-e^y}{x-y}=\frac{e^{x-y+y}-e^y}{x-y}=\frac{\pink{e^{x-y}}\cdot e^y-e^y}{x-y}\pink\ge\frac{\pink{(1+(x-y))}\cdot e^y-e^y}{x-y}=\frac{(x-y)e^y}{x-y}=e^y$$

Wegen \(e^{y-x}\ge1+(y-x)\) ist \(\green{-e^{y-x}\le-1-(y-x)}\), sodass

$$\frac{e^x-e^y}{x-y}=\frac{e^x-e^{y-x+x}}{x-y}=\frac{e^x\green{-e^{y-x}}\cdot e^x}{x-y}\green\le\frac{e^x+(\green{-1-(y-x)})\cdot e^x}{x-y}=\frac{-(y-x)e^x}{x-y}=e^x$$

Zusammengefasst heißt das:$$e^x\ge\frac{e^x-e^y}{x-y}\ge e^y\quad\stackrel{x-y>0}{\implies}\quad e^x(x-y)\ge e^x-e^y\ge e^y(x-y)$$

Answer 2

Die Aufgabe sieht meines Erachtens stark nach Anwendung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung aus.

Es ist laut Voraussetzung \(x>y>0\). Also haben wir

\( e^{x}(x-y)>e^{x}-e^{y}>e^{y}(x-y) \)

\(\Leftrightarrow\)

\(e^{x}>\frac{e^{x}-e^{y}}{x-y}>e^{y}\)

Nun gilt aufgrund des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung

\(\frac{e^{x}-e^{y}}{x-y} = e^t\) für ein \(t\in (y,x)\).

Da die Funktion \(f(t)=e^t\) bekannterweise streng monoton wachsend, haben wir also wegen \(y<t<x\)

\(e^{x}>e^t= \frac{e^{x}-e^{y}}{x-y}>e^{y}\)

Nebenbei haben wir auch noch gezeigt, dass wir die Bedingung \(y>0\) gar nicht brauchen.

Comments

Du benutzt allen Ernstes die höhere Analysis, um eine primitive Ungleichung zu beweisen?

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Warum nicht, es ist ein möglicher Lösungsweg. Außerdem muss man ja auch gelegentlich primitive Kommentare ertragen.

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Es gibt sicher sehr viele Lösungen, irgendetwas zu beweisen. Es gibt bestimmt auch einen Lösungsweg, der Quaternionen benutzt, aber man muss es nicht unbedingt aufblasen. Außerdem ist es auch eine Frage der (Wissens-)Voraussetzungen.

(Und was "primitive Kommentare" angeht: Dein Satz "Außerdem muss man ja auch gelegentlich primitive Kommentare ertragen." gehört auch dazu.)