Riesenrad Aufgabe Trigonometrie (Sinus, Kosinus)10. Klasse

Question

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Riesenrad
Das Riesenrad hat einen Durchmesser von \( 120 \mathrm{~m} \). Der Einstieg liegt in \( 4 \mathrm{~m} \) Höhe über dem Erdboden. Das Rad rotiert stets um \( 460^{\circ} \), dann stoppt es kurz zum Ein- und Aussteigen.
a) In welcher Höhe befindet sich ein Fahrgast bei seinem fünften \( \mathrm{Z} \) wischenstopp?
b) Nach welcher \( Z \) ahl von Zwischenstopps kann man erstmals aussteigen?

Aufgabe:

Siehe Bilder

Problem/Ansatz:

Könnte mir Jemand erklären wie man diese Aufgabe rechnet? Vielen Dank im Voraus !

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu a) Der Rotationspunkt des Riesenrades befindet sich in \(64\,\mathrm m\) Höhe. Die Höhe einer Gondel hängt vom Auslenkungswinkel \(\varphi\) ab. Bei \(\varphi=0^\circ\) ist die Gondel unten auf \(4\,\mathrm m\) Höhe. Bei \(\varphi=90^\circ\) ist sie auf der Höhe \(64\,\mathrm m\) des Rotationspunktes. Bei \(\varphi=180^\circ\) ist die Gondel ganz oben auf \(124\,\mathrm m\) Höhe. Bei \(\varphi=270^\circ\) ist sie wieder auf Höhe des Rotationspunktes. Das können wir in einer Formel zusammenfassen:$$h(\varphi)=64-60\cdot\cos(\varphi)$$denn es gilt: \(\cos(0^\circ)=1\,,\,\cos(90^\circ)=0\,,\,\cos(180^\circ)=-1\,,\,\cos(270^\circ)=0\).

Bei seinem 5-ten Stopp ist der Fahrgast um \(5\cdot460^\circ=2300^\circ\) rotiert:$$h(2300^\circ)\approx109,96\,\mathrm m$$

zu b) Gesucht ist das kleinste gemeinsame Vielfache von \(360^\circ\) und \(460^\circ\):$$\operatorname{kgV}(360,460)=\frac{360\cdot460}{\operatorname{ggT}(360;460)}=\frac{360\cdot460}{20}=8280$$Nach \(\frac{8280}{460}=18\) Stopps, kann man wieder aussteigen.

Comments

Ist vielleicht h(φ)=64 - 60·sin(φ)?

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Dann wäre bei \(\varphi=0^\circ\) die Höhe \(64\,\mathrm m\). Der Einstieg ist aber auf \(4\,\mathrm m\) Höhe.

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Erstmals vielen Dank für deine Erklärung!

Jedoch bin ich mir unsicher wie ich auf diese Formel komme/ wie dort der Zusammenhang entsteht, vor allem wieso man auf den Cosinus und nicht den Sinus guckt.

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Stell dir ein Koordinatensystem vor, dessen Ursprung am Drehpunkt des Riesenrads, also in \(64\,\mathrm m\) Höhe befestigt ist. Der Winkel \(\varphi\) ist die Auslenkung der Gondel aus der Einstiegsposition ganz unten auf \(4\,\mathrm m\) Höhe.

Bei \(\varphi=0^\circ\) steht die Gondel ganz unten: \(h(0^\circ)=4\,\mathrm m\).

Bei \(\varphi=90^\circ\) ist die Gondel auf Höhe des Drehpunktes: \(h(90^\circ)=64\,\mathrm m\).

Bei \(\varphi=180^\circ\) ist die Gondel ganz oben: \(h(180^\circ)=124\,\mathrm m\).

Bei \(\varphi=270^\circ\) ist die Gondel auf Höhe des Drehpunktes: \(h(270^\circ)=64\,\mathrm m\).

Bei \(\varphi=360^\circ\) steht die Gondel wieder unten: \(h(360^\circ)=4\,\mathrm m\).

Das heißt verkürzt:$$h(0^\circ)=64\pink{-60}$$$$h(90^\circ)=64\pink{\pm0}$$$$h(180^\circ)=64\pink{+60}$$$$h(270^\circ)=64\pink{\pm0}$$Du brauchst nun eine Winkelfunktion, um die pinken Werte zu erhalten. Sinus passt nicht, da \(\sin(0^\circ)=0\) ist, wir aber was von der \(64\) subtrahieren müssen. Cosinus passt besser, weil \(\cos(0^\circ)=1\) ist. Wir müssen also \(60\cdot\cos(0^\circ)\) subtrahieren. Dieser Term passt auch für alle anderen pinken Werte.

Daher ziehen wir von der \(64\) immer \(\pink{60\cdot\cos\varphi}\) ab.